$\frac{1}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 - z^2} = \frac{1}{z} + 2z\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^2-n^2}$?

Question

Estoy tratando de mostrar

$$\frac{1}{z} \prod{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2 - z^2} = \frac{1}{z} + 2z\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^2-n^2}$$

Esta pregunta se deriva el problema subyacente de la tarea, que pide para mostrar % $ $$ \frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac{1}{z} + 2z\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z^2-n^2}, $a que estoy en el final de mi ingenio. Tengo un par de identidades por parte, es decir, $$ \pi \cot (\pi z) = \frac{1}{z} + \sum{n \in \mathbb{Z}; n \neq 0} \frac{1}{z - n} + \frac{1}{n} $ $ y $ de $$ \frac{\sin (\pi z)}{\pi} = z \prod{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) $ y $$ \frac{\pi^2}{\sin^2 (\pi z)} = \sum{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z - n)^2} $ $ ha intentado perder el tiempo con estas identidades y estoy consiguiendo en ninguna parte. Consejos ni sugerencias sería mucho apreciados.

Answer 1

En esta respuesta, se deriva que $$\begin{align} \pi\cot(\pi z) &=\sum{k=-\infty}^\infty\frac{1}{z+k}\ &=\frac1z+\sum{k=1}^\infty\frac{2z}{z^2-k^2}\tag{1} \end {alinee el} $$ para obtener la serie alterna, tenga en cuenta que $$\begin{align} \frac1z+2z\sum{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{z^2-k^2} &=\sum{k=-\infty}^\infty\frac{(-1)^k}{z+k}\ &=\sum{k=-\infty}^\infty\frac{2}{z+2k}-\frac1{x+k}\ &=\sum{k=-\infty}^\infty\frac{1}{z/2+k}-\frac1{x+k}\[6pt] &=\pi\cot(\pi z/2)-\pi\cot(\pi z)\[7pt] &=\pi\frac{1+\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}-\pi\frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}\ &=\frac\pi{\sin(z)}\tag{2} \end {alinee el} $$

Answer 2

$$\sum{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{z^2-n^2}=2\sum{n=1}^\infty\frac{1}{z^2-(2n)^2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^2-n^2}$$

$$=\frac{1}{2}\sum{n=1}^\infty\frac{1}{(z/2)^2-n^2}-\sum{n=1}^\infty\frac{1}{z^2-n^2}$$

Ahora ya que,

$$\pi \cot(\pi z)=\frac{1}{z}+2z\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{z^2-n^2}$$

Obtenemos, %#% $ #%

Y así, $$ \pi\cot(\frac{\pi z}{2})-\pi \cot(\pi z)=\frac{1}{z}+2z(\frac{1}{2}\sum{n=1}^\infty\frac{1}{(z/2)^2-n^2}-\sum{n=1}^\infty\frac{1}{z^2-n^2}) $$ $$\pi\coth(\frac{\pi z}{2})=\frac{2}{z}+2z\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(z/2)^2-n^2}$$

Ahora desde %#% $ #%

Obtenemos:

$$=\frac{1}{z}+2z\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2-n^2}$$

Como sea necesario

Answer 3

Deje $ \displaystyle f(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} - \frac{1}{z}$.

Entonces, de acuerdo a la Mittag-Leffler polo de expansión teorema, $$ \frac{\pi}{\sin \pi z} - \frac{1}{z} = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty} \text{Res}[f,n] \Big( \frac{1}{z-n} + \frac{1}{n} \Big) + \sum_{n=1}^{\infty} \text{Res}[f,-n] \Big( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{n} \Big)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \Big( \frac{1}{z-n} + \frac{1}{n} \Big) + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \Big( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{n} \Big)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \Big(\frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n} \Big) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{2z}{z^{2}-n^{2}}$$