Secuencia de un producto de funciones en $L^p. L^q$ $p,q$ conjugado

Question

La pregunta es: si $f_i$ es una secuencia de funciones en $L^p$ convergentes a $f$ $g_i$ una secuencia en $L^q$ convergentes a $g$ muestran que $f_ig_i$ converge a $fg$ $L^1$ $p,q$ finito y $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. ¿Este resultado si $p=1, q=\infty$?

Así que creo que me mostró la primera parte. $||f_ig_i-fg||_1=||f_ig_i-f_ig+f_ig-fg||_1\leq||f_ig_i-f_ig||_1+||f_ig-fg||_1 = ||f_i(g_i-g)||_1+||g(f_i-f)||_1\leq||f_i||_p||g_i-g||_q+||g||_q||f_i-f||_p$

(por el Titular de la desigualdad) que va a$0$$i\rightarrow\infty$.

Sin embargo, la segunda parte de la pregunta me lanza fuera porque yo no veo por qué esta prueba no funciona igual de bien para $p=1,q=\infty$. Me estoy perdiendo algo? ¿La segunda parte también?

Answer 1

Según Davide Giraudo, exactamente la misma prueba funciona para todos los pares conyugal, incluyendo $p=1, q=\infty$. Una vez el % de desigualdad $$|f_ig_i-fg|_1 \leq |f_i|_p |g_i-g|_q+|g|_q|f_i-f|_p$$ se demuestra (como hiciste), se observa que el $|f_i|_p$ es una secuencia limitada, $|g_i-g|_q\to 0$ y $ |f_i-f|_p\to 0$ por supuestos. Entonces sigue que $|f_ig_i-fg|_1 \to0$.