¿La imagen previa de un mapa celular es un complejo CW?

Question

En general, si tenemos un mapa entre los CW-complejos, $f:X\to Y$, e $f$ es celular, entonces es claro que $f^{-1}(Y)$ (la inversa de la imagen, $f$ no es invertible en general) también es un CW-complejo?

Desde su celular, $f^{-1}(Y^n)$ debe cerrada, y debe contener $X^n$. No estoy seguro de qué más puedo decir. Algo de intersección de un número finito de celdas?

En última instancia, estoy tratando de usar esto para probar el siguiente para CW-espectros: Vamos a $f:E\to F$ ser una función de los espectros (en el sentido estricto aquí) y $F'$ ser un cofinal subspectrum de $F$. Entonces hay una cofinal subspectrum $E'$ $E$ tal que $f$ mapas de $E'$ a $F'$.

Mi primera impresión fue para mostrar que $f^{-1}(F')$ fue el deseado subspectrum, pero tengo bloqueado en el primer paso, porque yo no sé mucho acerca de CW espectros. Supongo que yo podría trabajar con agradables espacios o algo para simplificar este...

Gracias! Jon

Answer 1

Supongo que usted está leyendo Adams' libro?

Así, en Adams términos de un (estricto) de la función $f$ grado $r$ es una secuencia de mapas de $f_n:E_n \to F_{n-r}$ tal que el diagrama de desplazamientos para todos los $n \in \mathbb{Z}$

Así que, simplemente, establecer $E'$ a ser el subspectrum de las células de la $E_n$ que se asignan a $E'_{n-r}$. A continuación, puede ver que esta forma un cofinal espectro.

(En realidad, he encontrado este difícil así. Alguien me dijo cómo hacerlo, o me pareció una prueba en algún lugar, así que realmente no debería tomar el crédito para este)