Sobolov Space$W^{2,2}\cap W^{1,2}_0$ equivalencia de norma

Question

Me gustaría saber por qué en$W^{2,2}\cap W^{1,2}_0$ las normas

$$||u|| _{W^{2,2}}=\sum_{|\alpha|\leq 2}||D^\alpha u||_{L^2}$ $ y$$ ||\Delta u||_{L^2} son equivalentes.

Answer 1

Im que va a suponer que $\Omega$ es limitada porque no sé si $\|\Delta u||_{L^2}$ es una norma si $\Omega$ es no acotada. Si $\Omega$ es limitada, a continuación, $||\Delta u||_{L^2}$ es una norma. Deje $H=H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$, $\|u\|_1=\sum_{|\alpha|\leq 2}||D^\alpha u||_{L^2}$ $\|u\|_2=||\Delta u||_{L^2}$.

Tenga en cuenta que (trivialmente) $\|u\|_2\leq C\|u\|_1$, por lo tanto, si usted sabe que $H$ es un espacio de Banach de las normas a continuación, puedes llegar a la conclusión de que las normas son equivalentes mediante el uso de una aplicación estándar de la Asignación Abierta Teorema, por lo tanto, im que va a demostrar que $H$ es un espacio de Banach con la norma $\|u\|_2$.

Deje $(u_{n})\subset H$ ser una secuencia de Cauchy, es decir, $$\|u_{n}-u_{m}\|_{2}\rightarrow 0\ \mbox{if}\ n,m\rightarrow\infty.$$

Deje $w_{nm}\equiv u_{n}-u_{m}$$-\Delta w_{nm}\equiv f_{nm}\in L^{2}(\Omega)$. Por lo tanto, $$\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta w_{nm}=f_{nm}, & \hbox{em %#%#%,} \\ w_{nm}\in H_{0}^{1}(\Omega). & \hbox{} \end{array} \right.$$

Mediante el uso de un a priori de las estimaciones, podemos encontrar una constante $\Omega$ tal que $$\begin{equation}\|w_{nm}\|_{H^{2}(\Omega)}\leq C\|f_{nm}\|_{L^{2}(\Omega)}\ \forall\ n,m\in\mathbb{N}.\end{equation}$$

En el otro lado $$\begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) \|w_{nm}\|_{2}^{2} &=& \int_{\Omega}|\Delta w_{nm}|^{2}\\ &=& \|\Delta w_{nm}\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}, \\ &=& \|f_{nm}\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}, \end{eqnarray*}$$

A partir de la última desigualdad podemos conclud que $C>0$ si $\|f_{nm}\|_{L^{2}(\Omega)}\rightarrow 0$, debido a $n,m\rightarrow \infty$ es una secuencia de Cauchy.

Mediante el uso de la estimación a priori tenemos que $w_{nm}$$

Como $$\|w_{nm}\|_{H^{2}}\rightarrow 0,\ se\ n,m\rightarrow\infty.$ es completa, no existe $H^{2}(\Omega)$ tal que $u\in H^{2}(\Omega)$$

Para demostrar que $$u_{n}\rightarrow u$ utilizamos la teoría de traza. Desde la teoría de traza, existe $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$ delimitada operador lineal. Como $T:H^{2}(\Omega)\rightarrow L^{2}(\partial\Omega)$, $(u_{n})\subset H_{0}^{1}(\Omega)$$

Mediante la continuidad de $$T(u_{n})=0,\ \forall\ n\in\mathbb{N}.$, tenemos $T$$ $\|T(u_{n})-T(u)\|_{L^{2}(\partial\Omega)}\leq C\|u_{n}-u\|_{H^{2}(\Omega)}\ \rightarrow\ 0,\ se\ n\rightarrow\infty,$$hence,$$\|T(u)\|_{L^{2}(\partial\Omega)}\leq C\|u_{n}-u\|_{H^{2}(\Omega)}\ \rightarrow\ 0,\ se\ n\rightarrow\infty,$$therefore,$$\|T(u)\|_{L^{2}(\partial\Omega)}=0,$$which implies,$$

A partir de la última igualdad se concluye que $T(u)=0.$.

La prueba de que $u\in H$ es de Banach con la norma $H^2$ es estándar. Una vez $\|\ \|_1$ es un subconjunto cerrado de $H$ se puede concluir que el $H^2$ es de Banach con la norma $H$.