El teorema de la descomposición cíclica dice en realidad que una descomposición cíclica siempre existe, ya que se puede tomar W_0=\{0\} . Mencionando W_0 en esa versión del teorema de la descomposición cíclica sólo se hace para permitir una demostración por inducción en la dimensión (restante): construyendo un nuevo factor cíclico apropiado para que su suma con el antiguo W_0 sigue siendo T -admisible. (Que W_0 se requiere que sea un subespacio propio es para evitar el caso r=0 pero habría sido mejor permitir sólo ese caso).
Las descomposiciones cíclicas dan lugar a "formas racionales"; matrices especiales similares a la original sobre el campo original (sin extensión de campo). Estas formas existen tanto si los valores propios (valores característicos) viven sobre el campo base como si no, ya que los bloques de la matriz son matrices compañeras de los aniquiladores de los factores cíclicos, que pueden ser cualquier polinomio, no sólo los de la forma X-\lambda . Sin embargo, las descomposiciones cíclicas no son únicas, ni siquiera hasta una noción gruesa de equivalencia; por ejemplo, el número de factores cíclicos puede variar entre las descomposiciones. Existe una noción de Forma Canónica Racional, en la que se impone la condición adicional de que los aniquiladores de los factores cíclicos dividen cada uno al siguiente (o, en otro sentido, cada uno es un múltiplo del siguiente); esto todavía no hace que la descomposición cíclica sea única, pero sí la secuencia de aniquiladores, y por tanto la forma racional asociada.
La forma canónica racional corresponde a una descomposición en como algunos factores cíclicos como sea posible. Por ejemplo, si todo el espacio es cíclico, sólo será una única matriz compañera; además, este es el caso más frecuente, por ejemplo, si T es diagonalizable sin valores propios repetidos, o más generalmente si el polinomio mínimo es igual a la característica uno. En general, su descomposición contiene un factor directo cíclico cuyo aniquilador es lo más grande posible, es decir, igual al polinomio mínimo, mientras que un complementario T -El subespacio estable es (si es distinto de cero) descompuesto recursivamente de manera similar (aunque esto no es el método por el que se encuentra la descomposición). Como no se intenta la descomposición de los factores cíclicos correspondientes a la factorización de los polinomios mínimos, la forma canónica racional no cambia al extender los escalares a un campo mayor. En consecuencia, las entradas de la forma canónica racional viven en el campo más pequeño para el que cualquier matriz de T se puede encontrar.
Sin embargo, existe una descomposición diferente que sí refleja la factorización del polinomio mínimo sobre el campo en cuestión, que es la descomposición primaria. No es necesariamente una descomposición en factores cíclicos, pero tiene la ventaja sobre las descomposiciones en factores cíclicos de que la propia descomposición es canónica: no depende de ninguna elección (pero sí del campo). En consecuencia, la descomposición primaria es compatible con cualquier T -subespacio invariable W\subseteq V : siempre es cierto que W es la suma directa de los subespacios de los factores primarios de ~V a saber, de sus intersecciones con esos factores, cuyas intersecciones forman los factores primarios de ~W . (Nada de esto es válido para las descomposiciones en factores cíclicos correspondientes a la forma canónica racional).
Una descomposición en máximo número de factores cíclicos (que por lo tanto son lo más pequeños posible) se puede obtener descomponiendo cada factor primario de ~V en factores cíclicos (esta descomposición no es única, ya que en este caso todas las descomposiciones posibles son isomorfas). El resultado se denomina forma canónica racional primaria. El número de sus factores cíclicos puede aumentar a medida que se extienden los escalares a un campo mayor (si esto lleva a la factorización del polinomio mínimo en factores irreducibles más pequeños).
