Demuestre que el límite va al infinito si la función convexa derivada> 0

Question

Yo no entiendo lo que una función es convexa y puedo ver geométricamente que la siguiente afirmación es verdadera:

$(1)$ Si para una determinada función convexa $f$ que es diferenciable sobre $\mathbb{R}$ si $f'(x_0)>0$ algunos $x_0$$\lim_{x \to \infty}{f(x)} = \infty$.

Yo lo veo así: si el derivado $f'(x_0)>0$, entonces la pendiente es cada vez mayor mientras que el enfoque de la infinidad de $x_0$ debido a la definición de convexidad de la función:

$$f(tx_0 + (1-t)x_1 \leq tf(x_0) + (1-t)f(x_1)$$

En otras palabras, la secante está por encima de la curva de todo el tiempo. Pero, ¿cómo puedo demostrar que la declaración de $(1)$?

Answer 1

Si$f$ es convexo,$g(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ es una función creciente de$x$ y una función creciente de$y$. Por lo tanto, si sabemos que$f'(x_0)\gt0$, entonces porque $$ f '(x_0) = \ lim_ {x \ a x_0} \ frac {f (x) -f (x_0)} {x-x_0} = \ lim_ {x \ to x_0} g (x, x_0) \ tag {1} $$ debemos tener para todos$x\gt x_0$, $$ \ frac {f (x) -f (x_0)} {x-x_0 } = g (x, x_0) \ ge \ lim_ {x \ to x_0} g (x, x_0) = f '(x_0) \ tag {2} $$$(2)$ implica que para$x\gt x_0$ , $$ f (x) \ ge f '(x_0) (x-x_0) \ tag {3} $$ La diferenciabilidad solo se asume en$x_0$.

Answer 2

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y solo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes:

$f(x) \ge f(y)+f'(y)[x-y]$ para todas las x e y en el intervalo.

Sustituyendo$y=x_0$, obtenemos

$f(x) \ge f(x_0)+f'(x_0)[x-x_0]$

Por lo tanto, desde$f'(x_0)>0$,

$\lim_{x\to\infty}f(x_0)+f'(x_0)[x-x_0]=\infty \le \lim_{x\to\infty}f(x)$