Demostrar que .

Question

Para tres números reales positivos$a,b,$ y$c$, compruebe que$$\dfrac{a}{b+2c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{a+2b} \geq 1.$ $

Intento

Reescribiendo obtenemos$\dfrac{2 a^3+2 a^2 b-3 a^2 c-3 a b^2-3 a b c+2 a c^2+2 b^3+2 b^2 c-3 b c^2+2 c^3}{(a+2b)(2a+c)(b+2c)} \geq 0$. Entonces, ¿probé a utilizar el reordenamiento, AM-GM, etc. en el numerador?

Answer 1

Muy similar a la desigualdad de Nesbitt . Si establecemos$A=b+2c,B=c+2a,C=a+2b$, tenemos$ 4A+B-2C = 9c $ y así sucesivamente, y la desigualdad original se puede escribir como:$$ \frac{4B+C-2A}{9A}+\frac{4C+A-2B}{9B}+\frac{4A+B-2C}{9C} \geq 1 $ $ o:$$ \frac{4B+C}{A}+\frac{4C+A}{B}+\frac{4A+B}{C} \geq 15 $ $ que se deduce de la combinación de$\frac{B}{A}+\frac{A}{B}\geq 2$ (consecuencia de la desigualdad AM-GM) con$\frac{B}{A}+\frac{C}{B}+\frac{A}{C}\geq 3$ (consecuencia de la desigualdad AM-GM nuevamente).

Answer 2

Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz de la siguiente manera:

$$(a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)) \left (\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \right ) \geq (a+b+c)^2$ $ y luego:

ps

Ahora es fácil ver que$$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}$$$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} \geq 1$$ this being equivalent with $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$$ which is in turn equivalent with $ $ (después de una multiplicación con$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ y reorganizar)