Supongamos que $R' \subset R$ , $S'\subset S$ son la inclusión de $k$ -algebras. ¿Es cierto que $R'\otimes_kS' \rightarrow R \otimes_k S$ es inyectiva?
Sé que hay contraejemplos para los módulos, pero ¿por qué el álgebra hace las cosas diferentes?
Lo encontré utilizado como un lema en el proyecto Stacks para demostrar Lema 00I3 .
No, $R'\otimes_kS' \rightarrow R \otimes_k S$ no tiene por qué ser inyectiva: he aquí un contraejemplo.
Toma $k=\mathbb Z$ , $R'=\mathbb Z\hookrightarrow R=\prod_{n=1}^\infty \mathbb Z/2^n \mathbb Z$ el morfismo único, y $S'= \mathbb Z/3 \mathbb Z \stackrel {id}{\to} S=\mathbb Z/3 \mathbb Z $ .
Entonces el morfismo $R'\otimes_k S'=\mathbb Z/3\mathbb Z \rightarrow R \otimes_k S=0$ no es inyectiva porque su fuente es distinta de cero y su objetivo es cero.
[La igualdad $ R \otimes_k S=R\otimes _\mathbb Z \mathbb Z/3\mathbb Z=R/3R=0$ se deduce del hecho de que $3$ es invertible en $R=\prod_{n=1}^\infty \mathbb Z/2^n \mathbb Z$ ya que es invertible en todos los factores $\mathbb Z/2^n \mathbb Z$ ]
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