Encontrar el valor de la energía de 3

Question

Mayor poder de $3$ $19^{93}-13^{99}$

Fue capaz de calcular que $9$ será suficiente, pero cómo saber más

Hay alguna otra forma de binomio

Answer 1

Se pueden calcular a mano, porque es el poder por suerte no es muy alta.

Por el Teorema del Binomio, tenemos $$19^{93}=(1+18)^{93}=1+(18)(93)+\cdots,$$ donde cada término en la parte queda es divisible por al menos $3^5$. Del mismo modo, $$13^{99}=(1+12)^{93}=1+(12)(99)+(12^2)(99)(98)/2+ (12^3)(99)(98)(97)/6+\cdots,$$ donde de nuevo los términos restantes son divisible por, al menos,$3^5$. Restar.

Tenga en cuenta que $(18)(93)-(12)(99)=3^3(62-44)$, el cual es divisible por $3^5$. Ahora mira en
$$(12^2)(99)(98)/2+ (12^3)(99)(98)(97)/6.\tag{$1$}$$ Dividiendo por $3^4$, obtenemos $$(4^2)(11)(49)+(4^3)(11)(49)(97).$$ Modulo $3$, el primer término es congruente a $-1$, y así es el segundo término. De ello se desprende que el mayor poder de $3$ que divide $(1)$$3^4$.

Answer 2

Una vez que sabemos, la energía más alta a ser $4,$ hay varias formas de establecerlo. Siguiente es uno de ellos.

$19^{93}-13^{99}=(19^{31})^{3}-(13^{33})^{3}=(19^{31}-13^{33}){(19^{31})^2+ 19^{31} \cdot 13^{33}+(13^{33})^2}$

$(19^{31})^2+ 19^{31} \cdot 13^{33}+(13^{33})^2$

$\equiv 1+(4)^{33}+{(4)^{33}}^2 \pmod 9$

$=1+(2^6)^{11}+(2^6)^{22} \mod 9\equiv 3\pmod 9$ $\phi(9)=6\implies 2^6\equiv 1\pmod 9$

Así, $3^1\mid\mid ((19^{31})^2+ 19^{31} \cdot 13^{33}+(13^{33})^2)--->(1)$

Ahora, $19^{31}=(1+18)^{31}=1+18\cdot 31+($ mayores poderes de $18)\equiv1+18\cdot 31\pmod{81}\equiv -8$ $2\cdot 31\equiv -1$

$13^{33}=13\cdot (13^2)^8$ $\equiv 13\cdot (7)^{16}\pmod{81}$ $\equiv 13\cdot 7 \cdot(7^3)^5$ $\equiv 91\cdot(1+38\cdot 9)^5$

$\equiv 10(1+5\cdot 38\cdot 9+$ mayores poderes de $9)$ $\equiv10+ (10\cdot 9)(5\cdot 38)$ $\equiv10+9\cdot28=262\equiv 19\pmod{81}$

Así, $19^{31}-13^{33}\equiv -8-19\pmod{81}\equiv 54$

Así, $3^3\mid\mid (19^{31}-13^{33})--->(2)$

Así, $3^4\mid\mid (19^{93}-13^{99})$ $(1)$ y $(2).$

Answer 3

De arce:

padic:-ordp (19 ^ 93-13 ^ 99, 3);

$4$