La aproximación de Ramanujan para $\pi$

Question

En 1910, Srinivasa Ramanujan encontró varias series infinitas de rápida convergencia de $\pi$ como por ejemplo $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}. $$

Wikipedia dice esta fórmula calcula otro ocho decimales de $\pi$ con cada término de la serie. También hay generalizaciones llamadas Serie de Ramanujan-Sato .

Lo he probado con Maple y realmente cada término da más ocho aciertos. Alguien podría decirme, cómo podría cada paso dar más ocho ¿dígitos correctos?

Answer 1

Es fácil ver que podemos escribir la fórmula como $$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103 + 26390n)}{4^{4n}(n!)^{4}99^{4n}} = A\sum_{n = 0}^{\infty}B_{n}C_{n}$$ donde $$A = \frac{2\sqrt{2}}{9801},\, B_{n} = \frac{(4n)!(1103 + 26390n)}{4^{4n}(n!)^{4}},\,C_{n} = \frac{1}{99^{4n}}$$ Ahora bien, si miramos de cerca $A, B_{n}, C_{n}$ entonces observamos que $A$ es una constante y por lo tanto no tiene ningún impacto en la tasa de convergencia de la serie.

El término $B_{n}$ consta de una parte factorial y otra lineal. La parte factorial $(4n)!/4^{4n}(n!)^{4}$ parece permanecer casi constante cuando $n$ aumenta de uno en uno. Es evidente que si escribimos además $B_{n} = D_{n}E_{n}$ donde $D_{n} = (4n)!/4^{4n}(n!)^{4}$ y $E_{n} = (1103 + 26390n)$ entonces podemos ver que $$\begin{aligned}\frac{D_{n + 1}}{D_{n}} &= \frac{(4n + 4)!}{4^{4n + 4}((n + 1)!)^{4}}\cdot\frac{4^{4n}(n!)^{4}}{(4n)!}\\ &= \frac{(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4)}{4^{4}(n + 1)^{4}}\\ &= \frac{(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)}{(4n + 4)(4n + 4)(4n + 4)}\end{aligned}$$ para que $D_{n + 1}/D_{n}$ es siempre menor que $1$ y tiende a $1$ como $n \to \infty$ . El término lineal $E_{n}$ por otro lado, añade el valor $26390$ extra en el numerador en cada término sucesivo y la relación $E_{n + 1}/E_{n}$ es siempre mayor que $1$ pero tiende a $1$ como $n \to \infty$ .

De ello se deduce que el factor $B_{n} = D_{n}E_{n}$ se mantiene más o menos constante a medida que $n$ aumenta de uno en uno. El verdadero cambio se produce por el factor $C_{n} = 1/99^{4n}$ y podemos ver que $99^{4n} \approx 100^{4n} = 10^{8n}$ para que $C_{n} \approx (1/10^{8})^{n}$ Esto da ocho ceros decimales como $n$ aumenta de uno en uno. Así que podemos ver que es el término $C_{n}$ que es la clave para conseguir ocho dígitos decimales por término.

Actualización : En una nota no relacionada, este es uno de los mejores resultados dados por Ramanujan que es extremadamente difícil de demostrar y hasta la fecha no hay ninguna prueba disponible dentro de los límites del cálculo manual. También es importante tener en cuenta que este es un trabajo temprano de Ramanujan que se hizo en la India antes de que entrara en contacto con el matemático británico G. H. Hardy. Si está interesado en la teoría que hay detrás de esta fórmula, puede consultar estos puestos aquí .

Answer 2

Usando la fórmula de Stirling, $$ \frac{(4k)!}{(k!)^4}\sim\frac{4^{4k}}{\sqrt{2\pi^3k^3}} $$ Así, como $k\to\infty$ la relación de términos en la suma es $$ \begin{align} \frac{a_{k+1}}{a_k} &\sim\frac{4^4}{396^4}\frac{k^{3/2}}{(k+1)^{3/2}}\frac{27493+26390k}{1103+26390k}\\ &\to\frac{4^4}{396^4}\\ &=\frac1{99^4}\\ &=\frac1{96059601}\\[6pt] &\approx10^{-8} \end{align} $$ Así, cada término es aproximadamente $10^{-8}$ del término anterior. Así, la convergencia de alrededor de $8$ dígitos por término.