Encuentre el campo de división de$x^3-1$ sobre$\mathbb{Q}$.

Question

Encontrar la división de campo de la $x^3-1$$\mathbb{Q}$.

Yo:

Factorización esto a la mayoría de los que puedo (en $\mathbb{Q}$), obtenemos que $(x-1)(x^2+x+1)$

Por lo $x=1$ es una raíz de $f(x)$.

$x^2+x+1$ no tiene raíces en $\mathbb{Q}$, por lo que concluyo que es irreductible (ya que tenemos un bajo grado de $2$)

Puedo concluir que la división de campo de la $f(x)$ $\mathbb{Q}(1)=\mathbb{Q}$ porque $1\in\mathbb{Q}$?

O tengo que mantener el factoring, suponiendo que las raíces encuentro será en algún campo de la extensión?

Como:

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ da las raíces $x=1, x=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}, x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$, en cuyo caso la división de campo de la es $\mathbb{Q}(1,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{2})$. Pero si este es el caso, no estoy seguro de cómo simplificar esto.

Answer 1

Convénzase a usted mismo, usando la fórmula cuadrática para resolver:

$x^2 + x + 1 = 0$

que el campo de división de$x^3 - 1$ es$\Bbb Q(\sqrt{-3})$.

Nota: es costumbre indicar este campo como$\Bbb Q(\omega)$, donde:

$\omega = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Por lo tanto, convéncete de que$\Bbb Q(\omega) = \Bbb Q(\sqrt{-3})$.

Puede ser útil recordar la fórmula para el discriminante de una ecuación cuadrática.

Answer 2

El campo de división de$x^3 - 1$ es el campo más pequeño que contiene$\mathbb Q$ y todas sus raíces en$\mathbb{C}$, es decir,$$\mathbb{Q} \left(1, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) = \mathbb{Q} \left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) Por supuesto, si lo desea, siempre puede escribirlo como un simple extensión de$\mathbb Q$ (usando el teorema del elemento primitivo )