Convergencia o divergencia de la serie . $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^3}$

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^3}$$ Dame una pista para comprobar si esta serie converge o diverge.

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que $$\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^2}=\frac{\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^{n^2}}{\left(1+\frac{3}{n^2}\right)^{n^2}}.$$ Ahora utiliza el prueba de raíz y recordar que (ver Acerca de $\lim \left(1+\frac {x}{n}\right)^n$ ) $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^x.$$

Answer 2

$$ \left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^3}=\left(1-\frac{1}{n^2+3}\right)^{n^3}=e^{n^3\ln\left(1-\frac{1}{n^2+3}\right)} $$ Usa eso $$ \ln\left(1-\frac{1}{n^2+3}\right)\underset{(+\infty)}{\sim}-\frac{1}{n^2+3} $$ Por lo tanto, $$ \left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^3}\underset{(+\infty)}{\sim}e^{-n^3/(n^2+3)} $$ Y $$ e^{-n^3/(n^2+3)}=o\left(\frac{1}{n^2}\right) $$ La serie $\sum_{n \geq 1}^{}\frac{1}{n^2}$ converge por lo que la serie converge.

Answer 3

Por prueba de raíz $$\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n^2+2}{n^2+3}\right)^{n^2}=\frac{\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^{n^2}}{\left(1+\frac{3}{n^2}\right)^{n^2}}.\to \frac{e^2}{e^3}=e^{-1}<1$$ Por lo tanto su serie converge utilice esto Pruebas intuitivas de que $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x$