Deduce la probabilidad de que Tom W sea informático.

Question

Estoy leyendo Pensamiento rápido y lento de Daniel Kahneman y me encontré con el siguiente texto:

Lo que sigue es un esbozo de la personalidad de Tom W escrito durante el último año de instituto de Tom por un psicólogo, sobre la base de pruebas psicológicas de validez incierta:

Tom W es de gran inteligencia, aunque carece de verdadera creatividad. Tiene necesidad de orden y claridad, y de sistemas limpios y ordenados en los que cada detalle encuentre su lugar apropiado. Su escritura es más bien aburrida y mecánica, animada ocasionalmente por juegos de palabras algo cursis y destellos de imaginación del tipo de la ciencia ficción. Tiene un gran afán de competencia. Parece tener poco sentimiento y poca simpatía por los demás, y no disfruta interactuando con los demás. Centrado en sí mismo, tiene sin embargo un profundo sentido moral.

A continuación, el libro muestra que la mayoría de las personas, cuando se les pide que estimen la probabilidad de que Tom W esté matriculado en informática y no en otra especialidad, sólo tienen en cuenta la descripción anterior en su juicio, e ignoran por completo el hecho de que hay muchos menos estudiantes de informática que de estudios sociales. Para llegar a una estimación mejor, Kahneman propone el uso de la estadística bayesiana:

Las "reglas" pertinentes para casos como el problema de Tom W las proporciona la estadística bayesiana. Este influyente enfoque moderno de la estadística lleva el nombre de un ministro inglés del siglo XVIII, el reverendo Thomas Bayes, a quien se atribuye la primera contribución importante a un gran problema: la lógica de cómo las personas deben cambiar de opinión a la luz de las pruebas. La regla de Bayes especifica cómo deben combinarse las creencias previas (en los ejemplos de este capítulo, las tasas base) con la diagnosticidad de las pruebas, el grado en que éstas favorecen la hipótesis sobre la alternativa. Por ejemplo, si se cree que $3\%$ de estudiantes de posgrado se matriculan en informática (la tasa base), y también cree que la descripción de Tom W es $4$ veces más probable para un estudiante graduado en ese campo que en otros campos, entonces la regla de Bayes dice que debes creer que la probabilidad de que Tom W sea un informático es ahora $11\%$ .

Pregunta: ¿Por qué la probabilidad posterior es igual a $11\%$ ? Si $A$ es el caso de que Tom sea informático, y $B$ es el caso de que un estudiante tenga una descripción como Tom, el teorema de Bayes dice que $$P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$ Si suponemos que el tipo básico es $0.03$ tenemos que $P(A) = 0.03$ y si suponemos que la descripción dada es cuatro veces más probable para un estudiante matriculado en informática que para un estudiante matriculado en cualquier otro campo, tenemos que $$\dfrac{P(B\mid A)}{P(B)} = \dfrac{4P(B\mid C)}{5P(B\mid C)} = \dfrac{4}{5}$$ donde $C$ es el caso de que Tom no esté matriculado en informática y utilizando el hecho de que $P(B) = P(B\mid A) + P(B\mid C)$ . Combinando la prioridad y la probabilidad obtenemos que $$P(A\mid B) = \dfrac{4}{5}*0.03 = 0.024$$ ¿Qué estoy haciendo mal?

EDITAR: Sé lo que hice mal. Fue incorrecto por mi parte decir que $P(B) = P(B\mid A) + P(B\mid C)$ . Se supone que sí: $P(B) = P(B\mid A)P(A) + P(B\mid C)P(C),$ y esto resuelve el problema. ¿Qué debo hacer ahora? ¿Responder a la pregunta yo mismo, o editarla aún más?

Answer 1

Lo necesitas:

$$P(B)=P(B|A)\cdot P(A) + P(B|A^C)\cdot P(A^C)$$

y:

$$P(B|A) = 4 \cdot P(B|A^C)$$

Entonces:

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=$$

$$\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B|A)\cdot P(A) + P(B|A^C)\cdot P(A^C)}=$$

$$\frac{4 \cdot P(B|A^C) \cdot 0.03}{4 \cdot P(B|A^C) \cdot 0.03 + P(B|A^C)\cdot 0.97}=$$

$$\frac{0.12 \cdot P(B|A^C)}{P(B|A^C)\cdot (0.12+ 0.97)}=$$

$$\frac{0.12 }{1.09}\approx 0.11$$

Answer 2

Es incorrecto decir que $P(B) = P(B\mid A) + P(B\mid C)$ . En cambio, $$P(B) = P(B\mid A)P(A) + P(B\mid C)P(C)$$ Desde $P(A) = 0.03$ y $A^c = C$ tenemos que $P(C) = 0.97$ . Por lo tanto, $$P(B) = 0.03P(B\mid A) + 0.97P(B\mid C) = 0.03 * 4P(B\mid C) + 0.97P(B\mid C) = 1.09P(B\mid C).$$ Esto significa que tenemos que $$\dfrac{P(B\mid A)}{P(B)} = \dfrac{4P(B\mid C)}{1.09P(B\mid C)} = 3.6697$$ y $$P(A\mid B) = 3.6697*0.03 = 0.11$$