Encuentre la cantidad de valores de$a$?

Question

Considera una ecuación cuadrática;

ps

... (donde$$ x^2 + 7x – 14(a^2 + 1) = 0,$ es un número entero)

¿Para cuántos valores diferentes de$a$, la ecuación tendrá al menos una raíz entera?

Descubrí su discriminante, resulta ser

$a$ $ Este debería ser el cuadrado perfecto y también impar para que al menos una raíz sea entera.

Pero no puedo obtener los valores.

¿Cómo puedo lograr esto?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Así, el discriminante $(D^2)$ $49+56(a^2+1)=7(8a^2+15)$

Como $7\mid D^2\implies 7\mid D$ si $D$ es un número entero,

en ese caso, $49\mid D^2$ es decir, $49\mid \{49+56(a^2+1)\}$

$\implies 7\mid (8a^2+15)\implies 7\mid (a^2+1)$

$-1$ tiene que ser un residuo cuadrático de $7$.

El uso de Euler Criterio,
$-1$ es un residuo cuadrático de los números primos $\equiv 1\pmod 4$, pero $7\equiv -1\pmod 4$,

Sin el uso de residuos cuadráticos, todos los enteros puede ser escrito como $7b,7b\pm1,7b\pm2,7b\pm 3$

Por eso, $(7b)^2\equiv 0\pmod 7,(7b\pm1)^2\equiv 1\equiv -6,$ $(7b\pm 2)^2\equiv 4\equiv -3, (7b\pm3)^2\equiv 2\equiv -5$, así que no hay solución a $a^2\equiv -1\pmod 7$

Así, no hay solución racional de la ecuación dada por la integral de los valores de $a$.

Answer 2

Si hay una solución entera, ambas soluciones (concebiblemente iguales) son enteros, ya que su suma es$-7$. Además, como$7$ divide los dos últimos términos, debe dividir cualquier solución entera$x$.

Entonces, deje que las soluciones sean$7a$ y$7b$. El producto de las soluciones es$49pq$. Pero tambien es $-14(a^2+1)$. Ahora use el cálculo de Mark Bennet que muestra que$a^2+1$ no puede ser divisible por$7$.

Answer 3

Según el criterio de Eisenstein, necesitamos que$a^2+1$ sea divisible por 7 para que la ecuación tenga una raíz racional. Los cuadrados mod 7 son 0,1,2,4, y no incluyen -1, por lo que esto no puede suceder.