Computar una serie en forma cerrada

Question

Supongamos que $\alpha > 0$ para $r=2,3, \ldots$ Quiero calcular

$$\sum_ {k=0}^ \infty k(k-1) \cdots (k-r+1) \frac { \alpha ^k e^{- \alpha }}{k!}$$

El libro dice que esta suma infinita tiene una solución de forma cerrada: $\alpha ^r$

Intento:

Desde $k! = (k-r+2)! \cdot k(k-1) \cdots (k-r+1)$ y desde que $e^{- \alpha }$ no depende de $k$ Tenemos

$$e^{- \alpha } \sum_ {k \geq 0 } \frac {k!}{(k-r+2)!} \frac { \alpha ^k}{k!}$$

Pero esto todavía es difícil de manejar. ¿Cómo puedo manejar este problema? ¿Hay alguna garrapata?

Answer 1

Empezar con la identidad $$\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} = e^\alpha.$$ Tome la derivada con respecto a $\alpha$ : $$\sum_{k=0}^\infty k \frac{\alpha^{k-1}}{k!} = e^\alpha.$$ Vuelve a tomar la derivada: $$\sum_{k=0}^\infty k(k-1) \frac{\alpha^{k-2}}{k!} = e^\alpha.$$ Y así sucesivamente. Después de $r$ repeticiones, se obtiene $$\sum_{k=0}^\infty k(k-1)\cdots(k-r+1) \frac{\alpha^{k-r}}{k!} = e^\alpha.$$ Esto implica directamente su fórmula.

Answer 2

Así es como se obtiene una forma cerrada. Aplicando el operador $(xD)^r$ a la identidad

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{\alpha^k}{k!} = e^{\alpha}$$

da

$$S = \sum_{k=0}^\infty k(k-1)\cdots(k-r+1) \frac{ \alpha^k }{k!} = (xD)^r e^{\alpha}= \sum_{k=0}^{r} {r\brace k}\alpha^k D^ke^{\alpha}$$

$$\implies S = e^{\alpha}\sum_{k=0}^{r} {r \brace k}\alpha^k$$

$$\implies e^{-\alpha} S = \sum_{k=0}^{r} {r\brace k}\alpha^k,$$

donde ${r\choose k}$ son números de Stirling del segundo tipo.

Nota:

$$(xD)^n = \sum_{k=0}^{n} {n\brace k}\alpha^k D^k .$$