Cambiar las variables de $Q(x,y,z)=(x-y+z-1)^2-2z+4$ a $Q(f(u,v,w))=u^2+v$

Question

Tengo un problema con este ejercicio. Inicialmente, me dieron este polynom, y tenía que completar las plazas:

$$Q(x,y,z)=x^2-2xy+2xz+y^2-2yz+z^2-2x+2y-4z+5.$$

Yo lo he hecho, y he comprobado con maple (por lo que es correcto). Tenemos:

$$Q(x,y,z)=(x-y+z-1)^2-2z+4$$

Ahora, ellos dicen que tengo que encontrar una transformación afín para cambiar las variables a tener:

$$Q(f(u,v,w))=u^2+v.$$

Así que pensé que podría hacer

$$\begin{cases} u=x-y+z-1\\v=-2z+4\\w=0 \end{casos} $$

y resolver este sistema por $\{x,y,z\}$. Pero, obviamente, no tiene una solución.

Agradecería cualquier sugerencia, porque no sé cómo hacer este cambio de variables.

Gracias.

Answer 1

Qué se entiende por

Pero obviamente no tiene una solución

No necesita resolver este sistema de ecuaciones. Usted acaba de encontrar una transformación afín que es $$ \begin{bmatrix}u\v\w\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&-1&1\0&0&-2\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\4\0\end{bmatrix} $ y funciona.