¿Qué pasa con ${13 \choose 1}{4 \choose 2} \cdot {12 \choose 1}{4 \choose 2}$ como combinaciones para dos pares en el póker?

Question

Consideremos dos parejas en una baraja de 52 cartas de póquer en la que cada persona recibe cinco cartas.

Mi idea para abordar este problema es dar los siguientes pasos:

1. Primer par
   • Hay ${4 \choose 2}$ combinaciones que obtienen dos cartas del mismo rango
   • Hay ${13 \choose 1}$ combinaciones de tener un rango específico fuera de un traje
2. Segundo par
   • Todavía hay ${4 \choose 2}$ combinaciones para obtener dos cartas del mismo rango
   • Sin embargo, al desaparecer una carta por palo, sólo tenemos ${12 \choose 1}$ para cada combinación de un traje
3. Cualquier tarjeta
   • Hay ${4 \choose 1}$ combinaciones que sacan una carta del mismo rango
   • Hay ${11 \choose 1}$ combinaciones para sacar una carta de un palo

Esto daría lugar a:

$$P(TP) = \frac{{4 \choose 2}{13 \choose 1} \cdot {4 \choose 2}{12 \choose 1} \cdot {4 \choose 1}{11 \choose 1}}{{52 \choose 5}}$$

Según wikipedia la probabilidad correcta se calcularía como

$$P(TP) = \frac{{13 \choose 2}{4 \choose 2}{4 \choose 2} \cdot {4 \choose 1}{11 \choose 1}}{{52 \choose 5}}$$

¿Cuál es el error en mi modelo y cómo podría pensar en el proporcionado en la wikipedia?

Answer 1

Su número es el doble del de la wikipedia. Eso es porque contaste dos jotas, dos reyes, así como dos reyes, dos jotas. Así que contaste cada mano dos veces.

Answer 2

Date cuenta de que en tu forma de seleccionar los pares primero estás fijando un rango digamos 1 y luego en la segunda parte otro rango digamos 2. también la posibilidad de que en el primer rango fuera 2 y en el segundo rango fuera 1 está contando diferente en tu forma de contar pero en realidad es la misma Así que para la elección de los pares tienes que dividirlo por 2 y entonces tu respuesta coincidirá automáticamente.