Computar $\lim_{n\to\infty} (3n)^{1/3} x_n$

Question

Dejemos que $(x_{n})_{n \ge 1}$ sea una secuencia de números reales con $$\lim_{n\to\infty} x_n \sum_{k=1}^{n}x^2_{k}=1$$ Computar $$\lim_{n\to\infty} (3n)^{1/3} x_n$$ Mi suposición hasta ahora es que $x_{n}$ tiende a $0$ y la suma tiende a $\infty$ . ¿Podría ayudar aquí? Gracias.

Answer 1

Por el argumento de Harald tenemos que $$x_n \rightarrow 0, \, \, S_n=\sum_{k=1}^{n}x_k^2 \rightarrow \infty$$ Utilizamos El lema de Stolz para mostrar $$ \lim_n \frac{3n}{S_n^3}=1$$ Y después de eso habríamos terminado, de hecho $$\lim_n 3n x_n^3=\lim_n \frac{3nx_n^3}{x_n^3S_n^3}=\lim_n \frac{3n}{S_n^3}=1$$ y así por continuidad de $f(x)= x^\frac{1}{3}$ hemos terminado.

Ahora vamos a demostrar nuestra afirmación $$ \lim_n \frac{3n}{S_n^3}=\lim_n \frac{3(n+1)-3n}{S_{n+1}^3- S_n^3}=$$ $$=\frac{3}{(S_{n+1}-S_{n})( S_{n+1}^2 + S_{n+1}S_n + S_n^2)}=$$ $$=\frac{3}{x_{n+1}^2( S_{n+1}^2 + S_{n+1}S_n + S_n^2)}=$$ $$=\frac{3}{x_{n+1}^2 S_{n+1} ^2( 1+\frac{S_n}{S_{n+1} } + \frac{S_n}{S_{n+1}})^2}=$$

Ahora $$\lim_n\frac{S_n}{S_{n+1}}=\lim_{n}\left (1 -\frac{x_{n+1}^2}{S_{n+1}} \right )=1$$ Porque $$\frac{x_n ^2}{S_n}=\frac{x_n ^3}{S_n x_n}$$ Así que nos quedamos

$$\lim_n \frac{3n}{S_n^3}=\lim_n\frac{3}{x_{n+1}^2 S_{n+1}^2 } \frac{1}{3}=1$$