Convergencia de torres de energía

Question

Vamos a definir la secuencia de $\{s_n\}$ recursivamente como $$s_1=\sqrt2,\ \ \ s_{n+1}=\sqrt2^{\,s_n}.$$ O, en otras palabras, $$s_n=\underbrace{\sqrt2^{\sqrt2^{\ .^{\ .^{\ .^{\sqrt2}}}}}}_{n\ \text{levels}}.$$ La sucesión es monótona creciente, y rápidamente converge a un límite de $$\lim\limits_{n\to\infty}s_n=2.$$ Estoy interesado en el cálculo de su velocidad de convergencia.

Basado en datos numéricos, me conjeturó que $$\ln\left(2-s_n\right)=n\ln\ln2+c_{\sqrt2}+O\big(\left(\ln2\right)^n\big)$$ para algunas constantes $c_{\sqrt2}\approx-0.458709787761420587059021...$

Podría usted sugerir posibles enfoques para demostrar (o refutar) esta conjetura?
Yo también estoy interesado en una posible forma cerrada de la constante de $c_{\sqrt2}$.

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Actualización: podemos tratar de generalizar este problema a otras bases más allá de $\sqrt2$. Vamos a usar una notación habitual para tetration $${^n}a=\underbrace{a^{a^{\ .^{\ .^{\ .^a}}}}}_{n\ \text{levels}}.$$ Se sabe que para todos los $1/e^e<a<e^{1/e}$ existe un límite de$${^\infty}a=\lim\limits_{n\to\infty}{^n}a=e^{-W\left(-\ln a\right)},$$ donde $W(z)$ es la de Lambert $W$ función, la inversa de la función de $x\mapsto x\,e^x$.

Suponemos que para todos los $1<a<e^{1/e}$ $$\ln\left({^\infty}a-{^n}a\right)=n \ln\ln\left({^\infty}a\right)+c_a+O\left(e^{n\ln\ln\left({^\infty}a\right)}\right),$$ donde $c_a$ es una constante que depende del $a$, pero no en $n$ (también tenga en cuenta que $\ln\ln\left({^\infty}a\right)<0$, por lo que el último término es infinitamente pequeño).

Answer 1

Aquí está la prueba de un resultado más débil. Deje $r_n = 2 - s_n$. $$ r_{n+1} = 2 - s_{n+1}= 2 - \sqrt{2}^{s_n}= 2\left(1 - \sqrt{2}^{s_n-2}\right)= 2\left(1 - \sqrt{2}^{\,-r_n}\right) $$ Ahora, vamos a $\alpha = \ln 2$. $$ \sqrt{2}^{\,-r_n}= \left(e^{\ln \sqrt{2}}\right)^{-r_n}= e^{-\frac{1}{2}\alpha r_n}= 1-\frac{1}{2}\alpha r_n + O\left(r_n^2\right) $$ y así $$ r_{n+1}=\alpha\,r_n + \phi\left(r_n\right)\quad \phi\left(s\right) = O\left(s^2\right) $$ Por lo tanto, $$ \ln r_{n+1}= \ln\left(\alpha\,r_n + O\left(r^2_n\right)\right)= \ln\alpha + \ln r_n + \ln\left(1+O\left(r_n\right)\right)= $$ $$ =\ln\alpha + \ln r_n + \psi\left(r_n\right)\quad \psi(s)=O\left(s\right) $$ y $$ \ln r_n = \ln r_1 + \left(n-1\right) \ln \alpha + \sum_{k=2}^n\psi\left(r_k\right) $$ Esta última suma es convergente (prueba de abajo), por lo que la tasa de convergencia es determinado por el comportamiento de $\psi\left(r_n\right)$. Desde $\psi\left(s\right)=O(s)$, de hecho es determinado por el comportamiento de $r_n$.

Lema Para cualquier $\varepsilon > 0$, tenemos $\left|r_n\right|=O\left(\left(\alpha + \varepsilon\right)^n \right)$

La Prueba Deje $\varepsilon > 0$. Como $r_n\to 0$ $\phi\left(s\right)=O\left(s^2\right)$ por lo suficientemente grande $n$ tenemos $\left|\phi\left(r_n\right)\right|<\varepsilon\, \left|r_n\right|$, y así $$ \left|r_{n+1}\right|= \left|\alpha\,r_n+\phi\left(r_n\right)\right| < \left(\alpha + \varepsilon\right)\left|r_n\right| $$ y es claro que podemos enlazado $\left|r_n\right|$ por progresión geométrica con relación $\alpha + \varepsilon$.

Con esto, podemos fácilmente atado a la cola de la suma por $O\left(\left(\alpha + \varepsilon\right)^n\right)$, y así, a la conclusión de $$ \ln\left(2 - s_n\right) = n\ln\ln 2 + c + O\left(\left(\ln 2 + \varepsilon\right)^n\right) $$ para cada $\varepsilon > 0$ donde $c=\ln\left(2 - \sqrt{2}\right) - \ln\ln 2 + S$ donde $S$ es la suma de la serie que se discutieron anteriormente.

Por supuesto, eso es estrictamente más débil que el conjuecture de la pregunta. Aún así, creo que es lo suficientemente cerca para ser por lo menos pertinentes.

Answer 2

Este es el punto fijo de iteración del método para resolver una ecuación de la forma $x=f(x)=(\sqrt{2})^x$ itera $x_{n+1}=f(x_n)$, y es muy comúnmente discutidos en el análisis numérico de los libros de texto.

En general, si la solución es $x_\infty = f(x_\infty)$, el error de la $n$-ésimo término se comporta como $$ \epsilon_{n+1} = x_{n+1}-x_\infty = f(x_n) - f(x_\infty) \approx f'(x_\infty)(x_n - x_\infty) = f'(x_\infty)\epsilon_n, $$ $$ \epsilon_n = (f'(x_\infty))^n \times O(1), $$ que es donde el $n\log\log 2 = n\log f'(2)$ proviene de los datos.

El término constante en $\log\epsilon_n - n \log f'(x_\infty)$ está determinado no sólo por el método o la ecuación, sino también por la condición inicial $s_1=\sqrt2$, por lo que es muy a menudo no se analizó. La estimación inicial de la solución puede ser cualquier cosa, realmente, siempre que sea lo suficientemente cerca de la solución por el método converge. Así, si el método converge al valor mismo de la mayoría de los valores de partida, ¿por qué molestarse escoger un determinado arbitrariamente elegido?

En este caso, el límite de $c_{\sqrt2} = \lim y_n$ proviene de la relación de recurrencia $$ y_0 = 1, \qquad \log y_{n+1} = \frac{x_\infty}{(f'(x_\infty))^{n+1}}\Big(f\big((f'(x_\infty))^n\log y_n\big)-1\Big). $$ Este límite es bastante fácil de calcular numéricamente, pero no podría ser una manera de hacerlo de forma analítica.