Cuando se trabajan ejercicios de demostración de un libro de texto sin manual de soluciones, ¿cómo se sabe si la demostración es correcta o aceptable?

Question

Cuando se trabajan ejercicios de demostración de un libro de texto sin manual de soluciones, ¿cómo se sabe si la demostración es correcta o aceptable?

A menudo "siento" que puedo escribir una prueba para un ejercicio, pero la mayoría de las veces no estoy seguro de que la prueba que estoy pensando sea lo suficientemente buena o incluso correcta. Puedo pensar en una prueba en mi cabeza, pero no estoy seguro de que sea una prueba correcta.

Agradecería cualquier aportación. Gracias.

Answer 1

Pregunta a alguien con más experiencia. En mi opinión, esa es realmente la única opción, y una de las razones es que es muy importante para una prueba comunicar un resultado y su justificación a otra persona. Si la prueba es lo suficientemente buena como para convencerte a ti mismo, eso es un comienzo, pero la verdadera prueba es si puedes expresarla de tal manera que convenza a otra persona.

Y BTW... lo mismo se aplica si el libro de texto hace tienen un manual de soluciones. Tu demostración va a ser inevitablemente diferente de la del libro, y hace falta mucha experiencia y comprensión matemática para decidir si las diferencias son importantes o no.

Answer 2

1) Es tarea de tu profesor comprobar tus pruebas. Él tiene experiencia y está capacitado para leer pruebas y determinar lo que es aceptable y adecuado para tu nivel (¿es seguro ignorar algún defecto menor? ¿Cómo de detallado debe ser un cálculo?...) No dudes en pedirle consejo sobre la redacción de pruebas, incluidos los trabajos no obligatorios y el autoaprendizaje.

2) Haz una verificación paso a paso: ¿son correctas todas las fórmulas? ¿Todas las equivalencias son realmente equivalencias? En particular, no seas perezoso en ese paso: comprueba realmente que las equivalencias que has utilizado no son implicaciones. Además, comprueba cuidadosamente todas las condiciones antes de aplicar un teorema: la Prueba de la Serie Alternante requiere una secuencia decreciente ¡compruébalo! Incluye las condiciones obvias: si es obvio, escríbelo en una o dos líneas. Como profesor, siempre me ha molestado que los alumnos se quejen de su nota por una obviedad que no se han molestado en indicar.

3) Para ayudar a la verificación en el paso 2, adopte algunos hábitos de escritura: por ejemplo, introduzca las notaciones para los objetos con los que está trabajando, no escriba equivalencias, sólo implicaciones (es decir, para demostrar $P \Leftrightarrow Q$ demuestre $P\Rightarrow Q$ y luego $Q\Rightarrow P$ ); demostrar la igualdad de conjuntos por doble inclusión; una proposición empieza por "para cualquier $x$ en $A$ ...", entonces empieza a escribir tu prueba por "Vamos a $x$ en $A$ . Entonces...". Además, aunque las matemáticas no sean literatura de alto nivel, es absolutamente necesario saber escribir bien: sobre todo, los conectores lógicos como "si", "entonces", "por tanto", "pero", "ya que",... tienen un significado preciso. Asegúrese de utilizarlos correctamente, ya que, en mi opinión, ayudan enormemente a estructurar una prueba y a mantener las cosas claras.

4) Por último, las matemáticas no se dividen en dos pasos, uno en el que recibes una clase con definiciones y pruebas del profesor como si fuera un texto sagrado, y otro en el que haces deberes e intentas copiar al maestro. Para ser crítico con tu propio trabajo, tienes que ser crítico con el trabajo de los demás. Esfuérzate por cuestionar las pruebas del profesor: ¿por qué ha introducido esto? ¿Podemos acortar así la prueba? Ha utilizado un truco no intuitivo en la demostración; ¿podemos hacerlo sin el truco?

Answer 3

En muchas pruebas, lo difícil es encontrar el camino que hay que seguir; una vez hecho esto, son fáciles. Ante un problema, la mayoría de las veces mi resultado es: "No tengo ni idea de cómo resolver esto", "Tengo un comienzo pero me he atascado en algún punto", o "Tengo una demostración que es correcta a menos que haya cometido un error estúpido".

Si no tienes confianza en que tu prueba sea correcta, aparte de posibles errores, entonces es probable que no tengas una prueba. Si dices "A => B porque yo lo digo" en tu demostración, especialmente si dices "A => B debe ser cierto porque si no mi demostración no funciona", entonces lo más probable es que no tengas una demostración. Si no es el caso, lo más probable es que sólo sea cuestión de comprobar si hay errores en la prueba.

En fin, hay muchos ejercicios, demasiados para hacerlos todos. Para aprender, no es necesario hacer todas las pruebas hasta el último detalle insoportable; basta con llegar al punto en el que puedas decir "si hubiera dedicado una o dos horas más, mi prueba sería impecable". Lo importante es entrenar el cerebro para obtener las ideas correctas y poder encontrar pruebas. Para obtener nuevos resultados, quieres pruebas impecables (y evitar suspender un examen :-) Para los ejercicios, alguien ha escrito alguna vez una prueba impecable.

Answer 4

Si comprendes perfectamente la lógica y puedes justificar cada paso que das sin "andarte por las ramas", puedes estar seguro de que no has cometido ningún error, salvo algún descuido.

Desgraciadamente, mucha gente que he conocido no entiende del todo la estructura lógica de las pruebas, y eso perjudica su comprensión de todos los temas, así que es lo primero que hay que asegurarse de que se puede entender perfectamente. Por poner algunos ejemplos, debes ser capaz de identificar con precisión qué enunciados se han derivado y cuáles no, y exactamente qué supuestos forman el alcance de cada enunciado.

La siguiente parte, que consiste en justificar cada paso de la prueba, requiere que seas capaz de seguir las reglas a rajatabla. Aunque la intuición es una muy buena ayuda para encontrar la prueba, no es tan fiable a la hora de comprobarla, y a menudo tenemos que atenernos a la manipulación simbólica según reglas si queremos estar seguros de su corrección. Si no sabemos exactamente qué está permitido y qué no, es hora de examinar muy de cerca las reglas precisas y las justificaciones que las sustentan.

Sin embargo, lo último sobre el descuido no puede evitarse sin un ordenador, y la única alternativa además de un asistente de pruebas formal como Mizar es dejar que otra persona vea tu prueba, preferiblemente alguien que cumpla los dos primeros criterios anteriores.

Answer 5

Utilice un ordenador con software de comprobación automática de pruebas, también llamado asistente de pruebas o comprobador interactivo de teoremas. Normalmente tendrá que escribir su prueba en un formato especial legible por máquina (tenga cuidado con los errores de traducción/copia), pero más allá de este punto este campo está bien estudiado y la comprobación de pruebas por ordenador suele ser fiable. Wikipedia tiene una tabla comparativa de distintos programas informáticos para este fin: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_assistant . (Si esto es preferible, más fácil o incluso más rápido que verificar a mano tu prueba paso a paso es otra cuestión).