Si el mapa exponencial es un difeomorfismo en un punto, ¿podemos decir algo sobre otros puntos?

Question

Sea $M$ una variedad Riemanniana completa (conectada), $p \in M$ algún punto en $M.

¿Es cierto que $exp_q$ es un difeomorfismo para todos los puntos $q \in M$?

Por supuesto, si $M$ tiene un grupo de isometría transitivo, la respuesta es positiva, pero ¿qué pasa en otros casos?

Nótese que según esta respuesta, esto es equivalente a preguntar si todas las geodésicas de $M$ son globalmente minimizantes en longitud o si todos los puntos en $M$ están unidos por geodésicas únicas.

Answer 1

Núm.

Como ejemplo (sin ser riguroso) considere una variedad que se asemeja a un cilindro infinito paralelo al eje $z-$positivo en el espacio euclidiano tridimensional con una semiesfera unida en la parte inferior a lo largo de un ecuador y suavizada. (Algo así como un hiperboloide o un cigarro infinito de un solo lado). Si observa el polo sur (parte inferior) de la semiesfera, obtendrá su mapa exponencial difeomórfico (las geodésicas que comienzan allí se moverán desde allí hacia el cilindro y luego paralelas al eje z a lo largo del cilindro). Pero si mira un punto en el cilindro, incluso encontrará una geodésica cerrada que se extiende alrededor del cilindro. (Espero haberlo dejado suficientemente claro al describirlo solo con palabras).