¿Por qué es un grupo de orden $540$ no de simple? Las sugerencias que me han dado no son útiles.
He aquí lo que me han dicho.
Deje $G$ ser un grupo. Luego hay $36$ Sylow $5$-subgrupos; deje $H$ ser uno de ellos. También, hay $10$ Sylow $3$-subgrupos; deje $K$ ser uno de ellos.
A continuación,$[G: N(H)] = 36$, de donde $N(H)$ orden $15$; también, $[G: N(K)] = 10$, de donde $N(K)$ orden $54$. Podemos mostrar que $N(H)$ $N(K)$ se cruzan en un subgrupo de orden $3$.
A continuación, $N(N(H)\cap N(K))$ es de orden divisible por $45$.
Todo bien hasta aquí.
La siguiente sugerencia puedo obtener dice que un grupo de orden $45$ es abelian (que de hecho lo es).
Pero, ¿cómo este se resuelve el problema?
