¿Para qué valores de$m$, la expresión$y^2 + 2xy + 2x -my -3$ podrá resolverse en dos factores lineales racionales?
Así es como lo hice:
ps
Esto siempre se puede factorizar si$$y^2 + 2xy + 2x -my -3 = y^2+(2x-m)y+2x-3$, por lo que si$b^2-4ac>0$ será negativo ($4ac$), entonces$\forall x\in(-\infty,3/2)$ Solo debemos preocuparnos por$b^2-4ac > 0, . $.
Traté de usar la fórmula cuadrática siguiente, pero no pude avanzar más.
Sugerencia: La factorización puede ser tomado forma $(y+ax+b)(y+cx+d)$. Ya que no hay $x^2$ plazo, tenemos $a=0$ o $c=0$. Podemos tomar $c=0$. El término en $xy$$2xy$, lo $a=2$. De continuar. Estamos muy cerca del final.
Agregado: Su discriminante enfoque de trabajo. El discriminante es $(2x-m)^2-4(2x-3)$. Esto expande a $4x^2-4x(m+2)+m^2+12$.
Este discriminante debe ser la plaza de algo lineal en $x$. Así, el discriminante del polinomio $4x^2-4x(m+2)+m^2+12$ debe $0$. Tenemos $16(m+2)^2-16(m^2+12)=0$. Resolver para $m$.
Trate de sacar un factor de $y$ de cada término con un común $y$ factor, y vas a ver que su expresión puede ser escrita como $y(y+2x-m)+2x-3$. Ahora, el no$y$ términos de aspecto similar a otro; el plazo $2x$ aparece dos veces, y hay una constante junto con él en cada lugar. Esto sugiere tratando $m=3$, lo que da $y(y+2x-3)+(2x-3)$. Esto es cerca, pero no es muy factorable; OTOH, se puede ver cómo añadir un término a esta expresión, que permita sacar otro factor simple? Una vez hecho eso, se multiplican los dos términos de la espalda y usted debe tener su respuesta...
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