La búsqueda de un mecánico-cuántica de la teoría que se podría hacer en un matemático de manera sistemática, y se inicia a partir de las características observables. Así que la respuesta a la OP última pregunta es que el proceso se invierte: los observables son la primera (y como veremos a continuación, son justificados por las observaciones); a continuación, usted encontrará el espacio de estados donde estos observables se miden como una consecuencia. Esto conduce a la investigación de carácter muy general estructuras matemáticas, es decir, la probabilidad no conmutativa y especialmente la teoría de las álgebras de operadores. Estas estructuras tienen una enorme importancia en la matemática pura, y su estudio llevado a resultados poderosos que, cuando se aplica a la física cuántica (es decir, cuando el uso de quantum de los sistemas físicos como un modelo de estas estructuras) condujo a una comprensión mucho más profunda de cómo la mecánica cuántica se comportan los sistemas, y a la justificación del/de la predicción de muchos de los importantes hechos experimentales. Es, en mi opinión, bastante injusto para disminuir tales contribuciones al conocimiento (el objetivo último de la física, en lugar de la mera observación) como algo que en el final de las obras y proporcionar los números que están de acuerdo con los experimentos.$^{\dagger}$
A continuación voy a describir cómo una búsqueda de una teoría cuántica de obras (sin demasiados detalles).
Se comienza con la observación. Tiene un físico cuántico del sistema, en el que son capaces de realizar mediciones que se podría describir con suficiente precisión algunas cantidades físicas. Dado que el sistema es mecánico-cuántica, usted experimentará la indeterminación problemas con las mediciones, y en general, usted sería capaz sólo para determinar el valor promedio de un observable toma en un determinado estado del sistema.
A continuación, se identifica un conjunto de características observables para el sistema. Este conjunto $A$ debe ser tan completa como sea posible, con el fin de cubrir todo el efectivo o teóricamente permite mediciones. Por ejemplo,
si el sistema consta de una partícula, usted puede pensar de la medición de su (promedio) de la posición, y en muchos casos experimentalmente realizar este tipo de medida. Operativamente, usted puede pensar de un dispositivo que avisa si la partícula está en una región dada, $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$ de espacio. Podemos llamar a este observables $\mathbb{1}_{\Omega}(x)$, y por lo tanto $A\supset \{\mathbb{1}_{\Omega}(x),\Omega\subseteq \mathbb{R}^3\}$. Lo mismo se puede hacer con un dispositivo que avisa si la partícula tiene un determinado impulso, de nuevo contenido en $\Omega\subseteq \mathbb{R}^3$; y, por tanto,$A\supset \{\mathbb{1}_{\Omega}(x), \mathbb{1}_{\Omega}(p),\Omega\subseteq \mathbb{R}^3\}$. Por lo que es plausible que su conjunto de características observables tiene un número infinito de objetos (por ejemplo, tener en cuenta que, en principio, se podría medir si la partícula está en cualquier región del espacio); también es posible que su observables pueden ser reescalado, suman y multiplican (la última operación también puede ser no-conmutativa, como las observaciones sugieren). Finalmente, es útil para ampliar el conjunto de características observables para el "complejo" (que es un matemático de la conveniencia), y por lo tanto permiten la multiplicación por números complejos y tienen un "complejo de la conjugación" de las características observables. Cada una de estas operaciones tiene que satisfacer adecuado sencillo propiedades.
Este conjunto de características observables con las propiedades anteriores forman una estructura matemática. Esta estructura se llama $*$-álgebra. La última idea de que es útil introducir, es el de la "magnitud" de un observable. Este sería el supremum valor que un observable puede alcanzar cuando se mide en los estados. Matemáticamente, la magnitud que tiene la forma de una norma $\lVert\cdot\rVert: A\to \mathbb{R}_+$, con propiedades. Ahora completar la $*$-álgebra $A$ con respecto a la norma $\lVert\cdot\rVert$ obtenemos un Banach $*$-álgebra $\mathfrak{A}$. Este es el objeto que se elige para ser el conjunto de características observables del sistema, siempre y cuando se den algunos de los supuestos adicionales sobre la norma (no quiero dar demasiado detalle); y es llamado un $C^*$-álgebra. En esta etapa, que le han dado en su mayoría naturales, supuestos, que de acuerdo con la evidencia experimental (por ejemplo, la manipulación de objetos, el concepto de magnitud de un observable, las propiedades de la magnitud de la misma...).
Dado el conjunto de características observables del sistema, es decir, un $C^*$-álgebra $\mathfrak{A}$, identificar el espacio de estados. Los estados deben ser descrita matemáticamente como objetos que caracterizan a la evaluación de las características observables, y por lo tanto el comportamiento del sistema. En otras palabras, dado observables $a\in\mathfrak{A}$, necesitamos un estado $\omega$ que se asigna a $a$ a (eventualmente complejo, pero para "real" observables sería real), debe interpretarse como el valor promedio de la observables en el estado. Esto significa que $\omega$ es un funcional de $\mathfrak{A}$; y puesto que es conveniente que se comporta de una manera continua, sería un elemento del dual topológico $\mathfrak{A}'$$\mathfrak{A}$. Además, el estado ha de caracterizar las evaluaciones que son correctas en un sentido probabilístico, por lo que es norma en el espacio dual tiene que ser uno (es decir, con absoluta certeza que tiene probabilidad uno). Por último, se ha de preservar la positividad: si tenemos un observable que sólo tiene de positivo admisible de los valores, la evaluación debe ser siempre positiva. Por lo tanto, se denota el espacio de estados como
$$S_{\mathfrak{A}}=\{\omega\in\mathfrak{A}', \lVert\omega\rVert_{\mathfrak{A}'}=1, \forall (\mathfrak{A}\ni a\geq 0),\omega(a)\geq 0\}\; .$$
Primer resultado matemático: el álgebra de los observables siempre se asocia a un álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Este resultado, llamado GNS de la construcción, dice que, en un determinado $C^*$-álgebra $\mathfrak{A}$ es isomorfo a un álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert $\mathscr{H}$. En términos matemáticos, siempre tenemos un isomorfo mapa isométrico $\pi:\mathfrak{A}\to \mathscr{L}(\mathscr{H})$, de tal manera que (adecuado) de los estados están asociados a "elementos", es decir, a los vectores $\Omega$ del espacio de Hilbert; y la evaluación correspondiente toma la forma $\omega(a)=\langle\Omega, \pi(a)\Omega\rangle$.
Un segundo resultado matemático: cualquier representación irreducible de la álgebra de la canónica de relaciones de conmutación de QM$^\ddagger$ (en su exponentiated forma) es unitarily equivalente a aquella en la que el espacio es $L^2(\mathbb{R}^3)$, $x$ es la posición del operador, y $-i\hslash\nabla$ es el impulso del operador. Este es el llamado de Piedra-teorema de von Neumann, y proporciona una respuesta a la OP en el punto 2.
$\dagger$: Este largo preámbulo es en parte una respuesta a anna v y dmckee.
$\ddagger$: El álgebra de la CCR de QM se basa en un finito dimensionales simpléctica espacio (el ejemplo más simple de ser el clásico espacio de fase de una partícula libre, a grandes rasgos $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$); si la simpléctica espacio de infinitas dimensiones, el resultado no se sostiene más.
