Presunto mal uso del teorema de Fubini

Question

Como físico a veces hago operaciones sin comprobar si se cumplen las condiciones para hacer dichas operaciones. La mayoría de las veces todas las funciones con las que interactuamos se comportan muy bien, así que todo va bien. Esta vez, sin embargo, quería comprobarlo porque esta operación parece un poco sospechosa.

Lo que quería evaluar era la siguiente integralidad

$$ \int_{\mathbb R}\int_0^t e^{ikx}e^{-Dk^2(t-t')}f(x,t')\delta(k)\,\mathrm dt'\,\mathrm dk $$

donde

$$ f(x,t) =\begin{cases}1&0<t<\tau \\ 0 &t>\tau\end{cases} $$

Tengo esta integral como parte de la solución de la ecuación del calor PDE con una fuerza externa $f(x,t)$ haciendo una transformada de Fourier y luego una antitransformación.

Para evaluarlo He cambiado el oder de integración para deshacerse del delta de Dirac, lo que simplifica mucho el cálculo

$$ \int_0^t\int_{\mathbb R} e^{ikx}e^{-Dk^2(t-t')}f(x,t')\delta(k)\,\mathrm dk\,\mathrm dt' = \int_0^t f(x,t')\,\mathrm dt' $$

y procedí a evaluar mi solución para la EDP.

Pregunta: ¿Está permitida esta operación? ¿Satisface la función las peticiones del teorema de Fubini?

Answer 1

Pruébalo directamente, $$ \int_0^t \int_{\mathbb{R}}e^{ikx}e^{-Dk^2(t-t')}\delta(k)dk f(t')dt' = \int_0^t 1\cdot f'(t')dt' \\ \int_{\mathbb{R}}\left(\int_{0}^{t}e^{-Dk^2(t-t')}f(t')dt'\right) e^{ikx}\delta(k)dk= \left.\int_{0}^{t}e^{-Dk^2(t-t')}f(t')dt' \right|_{k=0} $$ Parece que funciona bien.