Álgebra lineal posible Error en papel (solucionado: ningún Error en documento)

Question

He estado leyendo este papel, y me he topado con un molesto problema, y quiero un poco de ayuda para comprobar este es el caso. En el papel, tienen una matriz de $A$, y tienen una base de Im$(A)$, vamos a decir $e$. Ahora parece ser el caso de que $A\sum e_ie_i^T = cA$ a lo largo de este documento (por ejemplo, comparar la ecuación 27, página 8 y 40, página 11).

Nota: en papel se separan $\sum_ie_ie_i^T$ a $\sum_{i=1}^se_ie_i^T+\sum_{j=1}^{\delta}f_jf_j^T$ (de ellos el uso de la tilde e, yo uso f), pero eso es sólo porque responden a una dinámica diferente. Yo recombinar porque son una completa base de Im$(A)$.

Ecuación de 27 y 40 años tienen estos $\psi$$\psi^{\dagger}$,$\psi^{\dagger}\psi = (a^{\dagger},a^{2,\dagger},a^{3,\dagger})\cdot (a,a^2,a^3) = n + n^2 + n^3$, lo cual es un escalar (debido a $a^{\dagger}a = n \in \textbf{R}$), por lo que pueden viajar aquellos a su alrededor. Por lo tanto, cuando hacemos eq. 27 para eq. 40, tenemos $L = \psi A\psi^{\dagger} = \psi A(\sum_ie_ie_i^T)\psi^{\dagger}$, se puede multiplicar por $\psi^{\dagger}$ y derecho multiplicar por $\psi$ conseguir $A = A(\sum_ie_ie_i^T)$.

Para entender por qué la igualdad de $A = A(\sum_ie_ie_i^T)$ es verdadero (donde, de nuevo, $e_i$ son vectores de la base para la Im$(A)$), primer aviso de que la normalizado bases para Ker($A$) y Ker$(A)^{\perp} = $Im$(A)$ dar una completa base ortonormales. Así que, dejando $e_i$ ser vectores de la base para la Im$(A)$ $f_j$ ser vectores de la base para Ker$(A)$, entonces tenemos que $$A = A(\sum_{i=1}e_ie_i^T+\sum_{j=1}f_jf_j^T).$$
Sin embargo, sabemos que para cualquier $v \in \textrm{Ker}(A), Av = 0$, por lo que tenemos $$A = A(\sum_{i=1}e_ie_i^T+\sum_{j=1}e_ie_i^T) = A(\sum_{i=1}e_ie_i^T)+0,$$ que es donde obtenemos $A = A(\sum_{i=1}e_ie_i^T)$, $e_i$ ser vectores de la base de Im$(A)$.

El problema surge al final, donde han trabajado ejemplos. La segunda, se tiene que (puede obtener mediante el cálculo de la matriz en el interior de los soportes en las dos primeras líneas de eqn. 64 página 17) $$A = \begin{bmatrix}-\alpha & \epsilon & 0 \\ \alpha & -2\epsilon & \beta \\ 0 & \epsilon & -\beta \end{bmatrix}$$

Y hay dos vectores de la base para la Im$(A)$ (estos dos vectores alcanzado a través de método que se describe en la página 10 del libro):

$$e_1 = \begin{bmatrix} \alpha \\ 0 \\ -\beta \end{bmatrix}$$

$$e_2 = \begin{bmatrix} \alpha\beta^2 \\ -\epsilon(\alpha^2 + \beta^2) \\ \alpha^2\beta\end{bmatrix}$$

Cuando lo hagan $A\sum e_ie_i^T = cA$, rendimiento (tercera línea de la ecuación (64, página 17)

$$\frac{1}{\alpha^2 + \beta^2}\left(\begin{bmatrix} \alpha^2 \\ -\alpha^2 + \beta^2 \\ -\beta^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha & 0 & -\beta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\beta^2 & -\epsilon(\alpha^2 + \beta^2) & \alpha^2\beta \end{bmatrix}\right)$$

La fracción en el principio proviene de la normalización de los factores (recuerde, queremos una base ortonormales), aunque hay un tema en el que la plaza de la normalización de factor para la derecha-la mayoría de la base de vectores es ligeramente diferente. Y si lo hago,$Ae_1$, me da la correcta vector, $$\begin{bmatrix} -\alpha^2 \\ \alpha^2 - \beta^2 \\ \beta^2 \end{bmatrix},$$ but if I do $Ae_2$, tengo

$$Ae_2 = -(\alpha^2\beta^2 + \epsilon^2(\alpha^2 + \beta^2))\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Este es el vector quería para $Ae_2$, pero cambia de tamaño. Esto afecta a los pesos de los términos en la suma de $A\sum e_ie_i^T$, y no es igual a $cA$. Me pregunto si me he perdido algo, o si hay un error aquí.

Edit2: va con la forma en que originalmente lo escribió, usted consigue a $A$ matriz de vuelta, sólo que no en la forma en que parece que debe calcular para

Answer 1

Edit: (contestando propia pregunta)

Después de averiguar la parte acerca de por qué la $A = A(\sum_ie_ie_i^T)$ mantiene (ver aquí, o breve razonamiento en la pregunta que se me acaba de editar en), el resto vino juntos. Resulta que no hay ningún error tipográfico.

Me he perdido algo importante cuando no me doy cuenta de que $A = A\sum_{\alpha}g_{\alpha}g_{\alpha}^T$, para cualquier ortonormales completa de la base - los vectores de la base en cuestión debe ser normalizada! (Estoy muy agradecido a esta página para darme el impulso para poner las piezas juntas, aunque, en realidad me siento como que debería haber sido más evidente :| ) Ya que ni siquiera tuve que pensar acerca de esto, yo no creo que sobre la normalización de los vectores de la base en el problema. Vamos a normalizar los vectores de la base. Para ello, vamos a generalizar a incluir un factor de normalización de $c_i$ donde $i \in \left\{1,2\right\}$.

$$c_1^2\begin{bmatrix}\alpha & 0 & -\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ 0 \\ -\beta \end{bmatrix} = c_1^2(\alpha^2+\beta^2) = 1 \implies c_1^2 = \frac{1}{\alpha^2+\beta^2}$$

$$c_2^2\begin{bmatrix}\alpha\beta^2 & -\epsilon(\alpha^2+\beta^2) & \alpha^2\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\beta^2 \\ -\epsilon(\alpha^2+\beta^2) \\ \alpha^2\beta\end{bmatrix} = c_2^2(\alpha^2\beta^4 + \epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)^2 + \alpha^4\beta^2) = c_2^2((\alpha^2+\beta^2)((\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2))) = 1 \implies c_2^2 = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)((\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2))} = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}\frac{1}{(\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)}$$

Ahora, antes de que totalmente de buceo, observe que la ecuación de 27 y 40 años nos dicen que $-L = \psi A\psi$, y debido a que los cálculos queremos seguir en la ecuación 64 positivo $L$ sobre el lado izquierdo, debe ser de manera que el lado derecho debe ser multiplicado por el $-1$; vamos a hacer al final. de ejemplo, dos de los ejemplos desarrollados queremos calcular (usando ahora normalizado vectores de la base)

$$-A(c_1^2e_1e_1^T + c_2^2e_2e_2^T).$$

Utilizando el resultado de la pregunta original e incluyendo el $c_2^2$ factor, tenemos para $c_2^2A\cdot e_1$:

$$c_2^2A\cdot e_1 = \frac{1}{\alpha^2+\beta^2}\begin{bmatrix}-\alpha & \epsilon & 0 \\ \alpha & -2\epsilon & \beta \\ 0 & \epsilon & -\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha \\ 0 \\ -\beta \end{bmatrix} = \frac{1}{\alpha^2+\beta^2}\begin{bmatrix} -\alpha^2 \\ \alpha^2 - \beta^2 \\ \beta^2 \end{bmatrix}.$$

Ahora, a partir de la pregunta original e incluyendo el $c_2^2$ factor, tenemos para $c_2^2 A\cdot e_2$:

$$c_2^2A\cdot e_2 = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}\frac{1}{(\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)}\begin{bmatrix}-\alpha & \epsilon & 0 \\ \alpha & -2\epsilon & \beta \\ 0 & \epsilon & -\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha\beta^2 \\ -\epsilon(\alpha^2+\beta^2) \\ \alpha^2\beta\end{bmatrix} = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}\frac{1}{(\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)}\begin{bmatrix}-\alpha^2\beta^2 - \epsilon^2(\alpha^2+\beta^2) \\ 2\alpha^2\beta^2 + 2\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2) \\ -\alpha^2\beta^2 + \epsilon^2(\alpha^2+\beta^2) \end{bmatrix} = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}\frac{(\alpha^2\beta^2 + \epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)}{(\alpha\beta)^2+\epsilon^2(\alpha^2+\beta^2)}\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

Así que en total, tenemos que

$$A(c_1^2e_1e_1^T + c_2^2e_2e_2^T) = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}(\begin{bmatrix} -\alpha^2 \\ \alpha^2 - \beta^2 \\ \beta^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha & 0 & -\beta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\beta^2 & -\epsilon(\alpha^2+\beta^2) & \alpha^2\beta\end{bmatrix}),$$

y multiplicando por $-1$ hemos

$$-A(c_1^2e_1e_1^T + c_2^2e_2e_2^T) = \frac{1}{(\alpha^2+\beta^2)}(\begin{bmatrix} \alpha^2 \\ -\alpha^2 + \beta^2 \\ -\beta^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha & 0 & -\beta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\beta^2 & -\epsilon(\alpha^2+\beta^2) & \alpha^2\beta\end{bmatrix}).$$

Este es el mismo resultado que la tercera línea de la ecuación (64. Un suspiro de alivio - no hay ningún error tipográfico.