Su argumento es correcto, gracias a el siguiente resultado.
Teorema. Para un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ los siguientes son equivalentes:
- $X$ es Lindelöf.
- $X$ $\sigma$- compacto.
- Hay una secuencia $\langle K_n:n\in\Bbb N\rangle$ de los subespacios compactos de $X$ tal que $K_n\subseteq\operatorname{int}K_{n+1}$ por cada $n\in\Bbb N$$X=\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n$.
- El punto en el infinito en un punto de compactification de $X$ tiene una contables de base local.
Prueba. Supongamos que $X$ es Lindelöf. Para cada una de las $x\in X$ deje $U_x$ libre nbhd de $x$ compacto con cierre, y vamos a $\mathscr{U}=\{U_x:x\in X\}$. $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de a $X$, por lo que tiene una contables subcover $\{V_n:n\in\Bbb N\}$. Claramente $X=\bigcup_{n\in\Bbb N}\operatorname{cl}V_n$ es una representación de $X$ como una contables de la unión de conjuntos compactos, por lo $X$ $\sigma$- compacto.
Supongamos ahora que $X$ $\sigma$- compacto, y deje $\{C_n:n\in\Bbb N\}$ ser una contables de la cubierta de $X$ por conjuntos compactos. Deje $K_0=C_0$. Si el conjunto compacto $K_n$ ya ha sido definido, para cada una de las $x\in K_n$ deje $U_x$ libre nbhd de $x$ compacto con cierre, y vamos a $\mathscr{U}=\{U_x:x\in K_n\}$. $K_n$ es compacto, por lo $\mathscr{U}$ tiene un número finito de subcover $\{V_1,\dots,V_m\}$. Deje $K_{n+1}=C_n\cup\bigcup_{k=1}^m\operatorname{cl}V_k$; a continuación, $K_{n+1}$ es compacto, y $K_n\subseteq\operatorname{int}K_{n+1}$. Finalmente, $C_n\subseteq K_n$$n\in\Bbb N$, lo $\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n=X$.
Ahora suponga que hay una secuencia $\langle K_n:n\in\Bbb N\rangle$, como en (3). Deje $X^*$ ser el único punto de compactification de $X$, y deje $p$ ser el punto en el infinito. Para $n\in\Bbb N$ deje $B_n=X^*\setminus K_n$, y deje $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\Bbb N\}$; a continuación, $\mathscr{B}$ es una contables de base local en $p$. Para ver esto, vamos a $U$ ser abierto nbhd de $p$$X^*$. A continuación, $C=X^*\setminus U$ es un subconjunto compacto de $X$. $\bigcup_{n\in\Bbb N}\operatorname{int}K_n=X$, por lo $\{\operatorname{int}K_n:n\in\Bbb N\}$ es un aumento de la apertura de la tapa de $C$, y por lo tanto hay un $n\in\Bbb N$ tal que $C\subseteq\operatorname{int}K_n\subseteq K_n$, de donde $B_n\subseteq U$.
Por último, supongamos que el $X^*$ es la primera contables en $p$, el punto en el infinito, y deje $\mathscr{B}=\{B_n:n\in\Bbb N\}$ ser un local anidado base en $p$. Para $n\in\Bbb N$ deje $K_n=X^*\setminus B_n$; a continuación, cada una de las $K_n$ es compacto, y $X=\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n$. Deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Para cada una de las $n\in\Bbb N$ deje $\mathscr{U}_n$ ser un subconjunto finito de $\mathscr{U}$ cubriendo el conjunto compacto $K_n$, y deje $\mathscr{V}=\bigcup_{n\in\Bbb N}\mathscr{U}_n$; a continuación, $\mathscr{V}$ es una contables subcover de $\mathscr{U}$. $\dashv$
Por supuesto, un segundo contables espacio es Lindelöf, así obtiene de (1)-(4).
