Demostrar:$2^{n+2}\ge n^3$ prueba de inducción

Question

Probar: $2^{n+2}\ge n^3$ para cada natural n

Tengo este ejercicio de TAU logaritmos ejercicios, he tratado de hacer la habitual técnica de inducción, pero llegué a un extraño callejón sin salida:

Hago la inducción de la prueba y me sale: $$2^{n+2}+2^{n+2} \ge n^3 +3n^2+3n+1$$

Por lo $2^{n+2}\ge n^3$ e intento otra de inducción de prueba y me sale:

$$2^{n+2}+2^{n+2} \ge 3n^2+3n+1+6n+6$$

Por lo $2^{n+2}\ge 3n^2+3n+1$ e intento otra de inducción de prueba pero me da una respuesta incorrecta para el caso base (que creo que va a ser $n=2$ en este paso) porque $2^4$ no es mayor que $18$

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Si hay otras maneras de resolver esto, también será bienvenida.

Answer 1

Solución general sin inducción:

Para cualquier $a, k \in \mathbb {R^{+}}≠1$ la siguiente declaración es verdadera:

$$\lim_{n\to +\infty} \frac{a^{n+\lambda} }{{(n+\alpha)}^k}=+\infty$$

donde $\alpha , \lambda \in \mathbb{R}$.

Otra palabra,

$n\to +\infty$, $a^{n+\lambda}>>{(n+\alpha)}^k$.

Answer 2

Sugerencia: Multiplicando $$2^{n+2}\geq n^3$$ by $%$ $2$obtenemos

$$2^{n+3}\geq 2n^3$$ and you must show that $$2n^3>(n+1)^3$$

Answer 3

Va de n a n +1, la izquierda se multiplica por 2. La derecha se multiplica por el $((n+1)/n)^3$. La derecha crece más lento si $((n+1)/n)^3 1/0.26 ≈ 3.847$ o n ≥ 4.

Así que probar la declaración a mano para n = 1, 2, 3, 4. Así que para n ≥ 4, $((n+1)/n)^3 n^3$ implica $2^{n+3} > (n+1)^3$.

Answer 4

Sólo voy a intentar esbozar un camino que vino a mi cabeza. Como base, $n=0$, tenga en cuenta que $2^2\geq 0$.

Para el paso de inducción, supongamos que $2^{n+2}\geq n^3$ $n$. Entonces $$2^{(n+1)+2}=2^{(n+2)+1}=2^{n+2}\cdot 2\geq n^3\cdot 2$$ by the induction hypothesis. Now, you just have to show that $2n^3\geq (n +1) ^ 3$ de los cuales a continuación que

$$2^{(n+1)+2}\geq (n+1)^3$$

que es lo que quería establecer.