Interpretación de la definición de autenticidad para juegos cuantitativa

Question

Estaba tratando de entender la definición de la determinación como se indica en las Conferencias en la Teoría de juegos para los Científicos de la computación

Su definición es algo como esto:

$(V, E)$ es un gráfico con $V = V_0 \uplus V_1$. Estrategias para el jugador $i$ ( $i \in \{0, 1\}$ ) son las funciones de $V_i^+ \to V$ respetando el borde de la relación $E$. Dado un vértice de partida $v \in V$ y estrategias $\mu$ $\chi$ para los jugadores de 0 y 1 respectivamente, $Resultado(v, \mu, \chi)$ es la infinita secuencia de vértices que se obtienen por siguiendo estas estrategias. Una rentabilidad de la función $\pi : V^\omega \a \mathbb{R}$ es una función que asocia un número real a cada uno de jugar. Intuitivamente, el jugador 1 quiere maximizar este valor.

Ahora, definen un juego, junto con una rentabilidad determinada, si

$$\sup_\mu \inf_\chi \,\pi(Resultado(v, \mu \chi)) = \inf_\chi \sup_\mu \,\pi(Resultado(v, \mu \chi)) $$

Su intuición es la siguiente:

[...] reproductor de 0 (jugador Min) no minar su objetivo de minimizar la rentabilidad si ella anuncia su estrategia para el jugador 1 (jugador Max) antes de que el juego comienza, en lugar de mantenerlo en secreto y actuar 'por sorpresa' en cada ronda. Un análogo de la interpretación tiene para el jugador 1.

Yo no entiendo completamente la motivación para esta definición. Mi comprensión de la noción de un juego que se determinó es que cada instancia debe tener una estrategia ganadora para al menos uno de los jugadores.

Te agradecería un poco de ayuda con cómo romper esta definición.

Answer 1

La definición que se refieren a ... en cada instancia del juego, un jugador debe tener una estrategia ganadora: se aplica a cualitativa juegos en los que cada jugador gana o pierde.

Con una rentabilidad función de $\pi : V^\omega \to \mathbb{R}$, Reproductor de $0$ intenta minimizar su pago para el Jugador $1$, que a su vez intenta maximizar el Jugador $0$'s de la rentabilidad a él. Que es donde el $\sup$ $\inf$ provienen.

En un juego cualitativo, Reproductor de $0$ tiene una estrategia ganadora si se puede utilizar esta estrategia para el efecto bueno no importa cómo el Jugador $1$ juega. (En particular, una ganancia de posición de la estrategia de trabajo, incluso en contra de los no-posicional de las estrategias de Reproductor $1$.)

En un determinado juego cualitativo, el mejor Jugador de la $0$ puede hacer, no importa lo que el Jugador $1$ no, es el mismo como el mejor Jugador de la $1$ puede hacer, no importa lo que el Jugador $0$. Por ejemplo, si el Jugador $0$ tiene una estrategia ganadora, su mejor recompensa es $0$, que es también la mejor rentabilidad Reproductor $1$ puede obtener a partir de ella.

La generalización de una estrategia ganadora para el Jugador $0$ cuantitativa de los juegos es una estrategia que minimiza el Jugador $0$'s de la rentabilidad, no importa qué estrategia Reproductor $1$ emplea.

Por un vértice $v$,

$$\pi(\operatorname{Outcome}(v,\mu,\chi))$$

es un valor real de la función de ambos jugadores estrategias, mientras que

$$\inf_\mu \pi(\operatorname{Outcome}(v,\mu,\chi))$$

es una función de $\chi$, lo que da, para cada estrategia de Reproductor $1$, el mejor Jugador de la $0$ puede hacer. Asimismo,

$$\sup_\chi \pi(\operatorname{Outcome}(v,\mu,\chi))$$

es una función de $\mu$, lo que da, para cada una de las estrategias del Jugador $0$, el mejor Jugador de la $1$ puede hacer. Por lo tanto, cuando

$$\sup_\chi \inf_\mu \pi(\operatorname{Outcome}(v,\mu,\chi)) = \inf_\mu \sup_\chi \pi(\operatorname{Outcome}(v,\mu,\chi))$$

el mejor Jugador de la $0$ puede hacer, no importa lo que el Jugador $1$ hace, es igual a mejor Jugador de la $1$ puede hacer, no importa lo que el Jugador $0$. Esto generaliza la noción de la determinación cualitativa de los juegos.

El orden de las $\sup$ $\inf$ de las operaciones puede ser interpretado como el orden en que los jugadores anunciar sus estrategias. Que explica la interpretación sugerida por el autor.