Valores propios de la matriz

Question

Considere la matriz $$A_n=\begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c & a & b & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & a & b & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & a & b & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & a & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c & a & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c & a \end{bmatrix}_{n\times n}$$ La matriz de con $a=2$ $b=c=-1$ se encuentra en diferencias finitas de discretización de $u_{xx}.$
(a) Si $D_n = \det(A_n),$ muestran que $D_n = aD_{n-1}-bcD_{n-2}.$
(b) Resolver la recurrencia analíticamente para obtener la $D_n$ como una función de la $n.$ (y por supuesto $D_n$ dependerá también de las $a, b, c.$)
(c) Obtener los autovalores de a $A_n.$ (Sugerencia: Sustituya$a$$a-\lambda$)$$ $$ $$ $$(a)una Parte puede demostrar fácilmente por la simple expansión de Laplace.
(b)Podemos ver que $D_0=1, D_1=a$.
Deje $D_n=r^n$ ser una solución de la recurrencia de la relación \begin{equation} D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} \end{equation} Entonces la ecuación característica correspondiente a (1) \begin{alignat*}{3} &\quad & r^n-ar^{n-1}+bcr^{n-2} &=0 \\&\implies &r^2-ar+bc &=0 \\&\implies &r_1=\tfrac{a-\sqrt{a^2-4bc}}{2}, r_2 &=\tfrac{a+\sqrt{a^2-4bc}}{2} \end{alignat*}$ $ Caso 1: $a^2-4bc=0$
$r_1=r_2=\frac{a}{2}$
Solución General de (1) :
$D_n=(C_1+nC_2)(\frac{a}{2})^n$ donde $C_1$ $C_2$ son constantes arbitrarias.

Para $n=0$, obtenemos $C_1=D_0=1$.
Para $n=1$, obtenemos $(C_1+C_2)\frac{a}{2}=D_1=a\implies C_2=1$

Por lo tanto $D_n=(1+n)(\frac{a}{2})^n$ $$ $$Case 2: $a^2-4ac\neq0$
Solución General de (1) :
$D_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n$, donde la $C_1$ $C_2$ son constantes arbitrarias.
Para $n=0$, obtenemos $C_1+C_2=D_0=1$
Para $n=1$, obtenemos $C_1r_1+C_2r_2=D_1=a\implica (C_1+C_2)\frac{a}{2}+(C_2-C_1)\frac{\sqrt{a^2-4ac}}{2}=a \implica 2C_2-1=\frac{a}{\sqrt{a^2-4ac}} \implica C_2=\frac{r_2}{\sqrt{a^2-4ac}}$
$\therefore C_1=\frac{-r_1}{\sqrt{a^2-4bc}}$

Por lo tanto $D_n=\frac{r_2^{n+1}-r_1^{n+1}}{\sqrt{a^2-4bc}}=\frac{1}{2^{n+1}\sqrt{a^2-4bc}}[(a+\sqrt{a^2-4bc})^{n+1}-(a-\sqrt{a^2-4bc})^{n+1}]$ $$------------------------------------$$ Esto lo he hecho mucho, pero estoy atascado ahora.
Hay alguna expresión más sencilla para $D_n$?
Cómo obtener los autovalores, si tenemos en cuenta la sustitución de $a$$a-\lambda$?

Answer 1

Tienes preguntas (a) y (b) ya. Para (c) los valores propios, se necesita la ecuación característica $\det (A_n - \lambda I) = 0$. Este es el mismo que $D_n = \det (A_n) = 0$, si en el no $a$ es reemplazado por $a-\lambda$. A partir de su resultado,

$$ 0 = D_n({\rm a \; reemplazado}) =\frac{1}{2^{n+1}\sqrt{(a-\lambda)^2-4bc}}[(a-\lambda+\sqrt{(a-\lambda)^2-4bc})^{n+1}-(a-\lambda-\sqrt{(a-\lambda)^2-4bc})^{n+1}]$$

es decir, para $(a-\lambda)^2-4bc \ne 0$ (denominador $\ne 0$) tenemos

$$ (a-\lambda+\sqrt{(a-\lambda)^2-4ac})^{n+1}=(a-\lambda\sqrt{(a-\lambda)^2-4ac})^{n+1}$$

o (tener cuidado obtener todas las raíces en $\sqrt[n+1]{1}$) $$ a-\lambda+\sqrt{(a-\lambda)^2-4ac}=(a-\lambda\sqrt{(a-\lambda)^2-4ac})\exp{(2\pi i k/(n+1))}$$

para $k = 0,1,\cdots,n$. La indexación de la $\lambda_k$$k$, obtener los resultados. E. g. $\lambda_0 = a \pm 2 \sqrt{bc}$ , pero que contradice la condición anterior,$(a-\lambda)^2-4bc \ne 0$.

Desde $k=0$ es excluido, el resultado general es$\lambda_k = a \pm 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi k}{n+1})$$k = 1,2,\cdots,n$. Desde $\cos(x) = -\cos(\pi -x)$, uno de los dos signos en $\pm$ basta: $\lambda_k = a - 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi k}{n+1}) = a + 2 \sqrt{bc} \cos(\pi - \frac{\pi k}{n+1}) \\= a + 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi (n+1-k)}{n+1}) =a + 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi m}{n+1}) $

donde $1 \le m = n+1-k \le n$, por lo que los resultados con el signo positivo se reproducen con el mismo rango de la variable de conteo $m$.

Nos muestran el resultado general conectando $\lambda_k = a + 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi k}{n+1})$ (conectar $\lambda_k = a - 2 \sqrt{bc} \cos(\frac{\pi k}{n+1})$ funciona igual de bien ) en la determinación de la ecuación de autovalores. De hecho

$$ 2 \sqrt{bc} [\cos(\frac{\pi k}{n+1})+\sqrt{\cos^2(\frac{\pi k}{n+1})-1}]=2 \sqrt{bc} [\cos(\frac{\pi k}{n+1})-\sqrt{\cos^2(\frac{\pi k}{n+1})-1}]\exp{(2\pi i k/(n+1))}$$ o $$ \cos(\frac{\pi k}{n+1}) + i \sin(\frac{\pi k}{n+1})=[\cos(\frac{\pi k}{n+1}) - i \sin(\frac{\pi k}{n+1})]\exp{(2\pi i k/(n+1))}$$ o $$ \exp{(\pi i k/(n+1))}=\exp{(-\pi i k/(n+1))}\exp{(2\pi i k/(n+1))}$$ que es una identidad.

Por cierto, técnicamente, lo que tenemos aquí es un tridiagonal matriz de Toeplitz, donde las referencias se pueden encontrar fácilmente.