Demostrar que existe precisamente un $p \in \mathbb R$ tal que $p \in \bigcap_{n=1}^\infty D_n$

Question

Para todos los $n \in \mathbb N$, vamos a $D_n = [a_n, b_n]$ ser un intervalo cerrado en $ \mathbb R$$b_n - a_n > 0$. Supongamos que $$D_1 \supset D_2 \supset ....$$ Por otra parte, supongamos que el $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n - a_n) = 0$. Demostrar que no existe precisamente una $p \in \mathbb R$ tal que $p \in \bigcap_{n=1}^\infty D_n$. (A continuación, voy a seguir para comprobar si esto es también válido en todas partes en $\mathbb Q$.

Intuitivamente, es muy simple para dibujar una imagen y ver lo que está pasando, y he llegado a la conclusión de que tengo que trabajar con el supremum de { $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ }, pero no tengo idea de cómo empezar.

Esta es la preparación general de un test, consejos, sería preferible, muchas gracias.

(EDIT) Mi progreso:

Definir $p = sup${$(a_n)_{n \in \mathbb N}$}.

Va sin decir que $p\in D_n = [a_n, b_n]$ todos los $n\in\mathbb N$ dada por las propiedades de un supremum y cómo $b_n - a_n > 0$. Además, por hipótesis; $e>0$, $ |b_n-p| \le |b_n-a_n| \le e$ (desde $p \ge a_n$) por lo tanto $b_n$ converge a p. Creo que es necesario mostrar que el infimum de $a_n = p$ o algo y por lo tanto por las propiedades de la infimum y supremum, no se encuentra nada en el medio.

De izquierda a probar: p es la única cosa en $\bigcap_{n=1}^\infty D_n$

Answer 1

Sugerencia

• Demostrar que el $(a_n)$ de la secuencia es Cauchy.
• Demuestra que su % de límite $p$pertenece a todos los $D_n$.
• Demostrar que no existe dos puntos distintos pertenecientes a $\displaystyle \cap_{n \in \mathbb N} D_n$ teniendo en cuenta la distancia entre aquellos potencialmente dos puntos distintos.

Answer 2

Sólo un pensamiento - aquí es cómo me gustaría tratar de atacar el problema:

Deje $\varepsilon>0$. Desde $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}(b_{n}-a_{n})=0,$ existe $N_{k} \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq N_{k}$, $|b_{n}-a_{n}|< \frac{1}{2^{k+1}}$. Entonces podemos ver que por su definición de la $\mathcal{D}_{n}$, $$\bigcap\limits_{n \geq N_{k}}\mathcal{D}_{n}\subseteq \bigcap\limits_{n \geq N_{k}}\bigg[a_{n},a_{n}+\frac{1}{2^{k+1}}\bigg).$$ ¿Qué pasa si la unión de más de $N_{k} \in \mathbb{N}$, y luego se cruzan sobre todas las $k \geq 1$?

Si usted es similar a la de las desigualdades y de la convergencia de $\{a_{n}-b_{n}\}$ usted puede demostrar que $\{a_{n}\}$ de Cauchy, y por la integridad de la $\mathbb{R}$ a la conclusión de que converge a algunos $p \in \mathbb{R}$. Cómo afecta esto el conjunto de la teoría de la contención obtuvo?

Answer 3

Consejo de singularidad:

La intersección (posiblemente infinita) de intervalos cerrados es un intervalo cerrado. Considerar el ancho del intervalo $\cap D_n$

Answer 4

Alguien citó compacidad, voy a explicar brevemente aquí: en un espacio reducido, cualquier colección de conjuntos cerrados de tal forma que cada finito subcolección tiene intersección no vacía (su secuencia anidada de cerrado intervalos de obras), la intersección de la colección no está vacío. Básicamente, esto viene de la definición de compacidad, convenientemente manipulada. Por supuesto, cerrado intervalos en $\Bbb{R} $ son compactos.

A partir de la linealidad del límite: $$\lim_{n\to \infty} b_n = \lim_{n\to \infty} a_n $$ Llamar a este límite de $p$. Nos muestran que si $x\neq p$, hay un intervalo cerrado que no la contienen; en primer lugar, tenga en cuenta que por cada dos puntos distintos en $\Bbb{R} $, se pueden encontrar dos abiertos disjuntos intervalos que contienen. Deje $U$ $V$ ser tales intervalos, para $p$ $x$ respectivamente.

Desde $a_n \to p$, $N$ tal que $a_i \in U$ por cada $i \geq N$. Del mismo modo, desde la $b_n \to p$, $N'$ tal que $b_i \in U$ por cada $i \geq N'$. Deje $\bar{N} = \max (N, N')$.

Entonces el intervalo cerrado $[a_\bar{N} , b_\bar{N}] = D_\bar{N}$ está totalmente contenida en $U$; por lo tanto, es disjunta de a $V$. Ya que existe un intervalo cerrado que no la contienen, $x$ no pertenece a la intersección de todos los $D_n$.

Answer 5

Aquí está una tardía respuesta de un Rudin ventilador. Como usted bien sospecha, usted debe desear para considerar $$ x = \sup_{n \geq 1} a_n, $$ que existe finitely desde $a_n \leq b_1 < \infty$ todos los $n \geq 1$. Entonces ya sabemos que $$ a_n \leq a_{n+m} \leq b_{n+m} \leq b_m $$ para todos los $n,m \geq 1$, podemos concluir que $$a_m \leq \sup a_n = x \leq b_m$$ para todos los $m \geq 1$. Por lo tanto $x \in [a_m, b_m]$ todos los $m \geq 1$, y $$ x \in \bigcap_{m \geq 1} [a_m, b_m] = X. $$

Supongamos ahora que $X$ contiene otro punto de $y \not= x$. A continuación, $y$ está a una distancia de $x$. Poner $r = |x-y| > 0.$ desde $b_n-a_n \to 0$ $n \to \infty,$ podemos optar $N\geq 1$, de modo que $$ b_n - a_n < r, $$ para todos los $n \geq N$, y, a continuación, la distancia entre dos puntos cualesquiera de $[a_n, b_n]$ es estrictamente menor que $r$ todos los $n \geq N$. Por lo tanto $y$ no pertenecen a $X$, e $X = \{x\}.$