¿Cómo es mi comprensión de $\vdash, \vDash, \to$ etc.

Question

Mi entendimiento actual:

$\vdash$ es "consecuencia sintáctica", por ejemplo, si tenemos $a \vdash b$ significa que si hemos escrito $a$ como algo que conocemos, podemos escribir inmediatamente $b$ como algo que conocemos. Esto no dice nada sobre si alguna de estas piezas es verdadera, falsa, algo más, etc., sólo dice que nosotros puede decir algo sobre $b$ en virtud de poder decir algo sobre $a$ .

$\vDash$ es "consecuencia semántica", por ejemplo, si tenemos $a \vDash b$ entonces (normalmente) significa que si $a$ es siempre verdadera en todas las interpretaciones (es decir, no importa cómo nos metamos con cualquiera de las variables subyacentes que conducen $a$ ), entonces $b$ también es cierto. Sin embargo, no sé si esto es necesariamente algo "verdadero". Parece concebible que podamos hacer uno para las falsedades también, es decir, si $a \vDash b$ podría significar si $a$ es siempre falso, entonces $b$ es siempre falso, de si $a$ es siempre "perro" entonces $b$ es siempre "perro", etc. Pero no estoy seguro de esto.

$\to$ es la implicación material, que existe únicamente dentro del sistema lógico (a diferencia de las dos relaciones metalógicas anteriores) y tiene un significado semántico específico / definición en términos de una tabla de verdad en algo como la lógica preposicional ( $a \to b$ es siempre verdadera a menos que $a$ es verdadera y $b$ es falso). Se define así simplemente porque es un modelo útil para describir cosas como "siempre que $a$ es cierto, $b$ es cierto".

¿Tengo la idea correcta hasta ahora?

Answer 1

Has hecho un buen trabajo explicando las principales diferencias. Un par de comentarios:

$\vdash$ es "consecuencia sintáctica", por ejemplo, si tenemos $a \vdash b$ significa que si hemos escrito $a$ como algo que conocemos, podemos escribir inmediatamente $b$ como algo que conocemos.

Yo aclararía además que se trata menos de conocimiento y más de prueba. $a \vdash b$ es verdadera si existe una prueba válida de $b$ de $a$ Por tanto, es relativo a lo que hayamos decidido que significa "prueba válida". Por ejemplo, algunos filósofos y lógicos han insistido en negar ciertos tipos de pruebas y han propuesto sistemas lógicos muy restrictivos en los que se restringe cuándo se puede deducir $b$ de $a$ . En algunos de estos sistemas, $b$ puede seguirse semánticamente de $a$ ( $a \vDash b$ ) pero es posible que no haya forma de demostrarlo (por lo que $a \not \vdash b$ ).

Concretamente, algunos lógicos niegan que $\lnot \lnot a \vdash a$ -- no están dispuestos a aceptar $\lnot \lnot a$ como prueba de $a$ . Así que puede ser que en cada mundo donde $\lnot \lnot a$ es cierto, $a$ es verdadera (semánticamente), es decir $\lnot \lnot a \vDash a$ . Pero si usted insiste en un estándar de prueba donde $\lnot \lnot a$ no es una buena prueba de $a$ entonces $\lnot \lnot a \not \vdash a$ .

$\vDash$ es "consecuencia semántica" ... Sin embargo, no sé si esto es necesariamente sólo algo "verdadero". Parece concebible que podamos hacer una para las falsedades también, es decir, si $a \vDash b$ podría significar si $a$ es siempre falso, entonces $b$ es siempre falso, de si $a$ es siempre "perro" entonces $b$ es siempre "perro", etc. Pero no estoy seguro de esto.

Su especulación aquí es un poco inexacta. $a \vDash b$ suele significar alguna variante de "en cualquier mundo posible en el que $a$ es cierto, $b$ también es cierto". La definición no considera mundos donde $a$ es falso. Y no hay palabras donde $a$ es siempre "perro" -- $a$ es alguna sentencia, por lo que sólo es siempre verdadera o falsa. Llamando a $a$ un perro sería una especie de desajuste semántico. Tal vez $a$ es algo datos sobre los perros pero no un perro en sí mismo.

¿Tengo la idea correcta hasta ahora?

Sí, y déjame comentar una cosa. En lógica, insistimos en ser extremadamente formales y en distinguir entre cosas que tienen diferentes definiciones aunque al final sean lo mismo. Por ejemplo, distinguimos entre $(\lnot a) \land (\lnot b)$ (no $a$ y no $b$ ) y $\lnot (a \lor b)$ aunque al final acaben siendo equivalentes.

Lo mismo ocurre con $\vDash$ , $\vdash$ y $\to$ . Insistimos en distinguirlos porque son definido de manera diferente y usted ha resumido bien las diferentes definiciones. Sin embargo, hay sentidos importantes en los que todas son equivalentes. En particular, es probable que demuestres algunos teoremas como:

• (Solidez) Si $a \vdash b$ entonces $a \vDash b$ .

• (Integridad) Si $a \vDash b$ entonces $a \vdash b$ .

• (Posibilidad de implicación) Si $a \to b$ es demostrable, es decir, si $\vdash (a \to b)$ -- entonces $a \vdash b$ . Del mismo modo, si $a \vdash b$ entonces $\vdash (a \to b)$ .

Así pues, los tres acaban siendo conceptos equivalentes al final, pero es importante mantenerlos mentalmente distintos. Incluso hay algunos sistemas lógicos (generalmente defectuosos) en los que los tres conceptos no son equivalentes, por lo que hay que tener cuidado de no asumir que son lo mismo hasta que se demuestre.