Muestre, calculando varios valores, que hay números compuestos en esta secuencia.

Question

Estaba revisando este ejercicio de teoría de números:

Considera los números

$2 + 1, 2 · 3 + 1, 2 · 3 · 5 + 1, 2 · 3 · 5 · 7 + 1, · · · $

Muestre, calculando varios valores, que hay números compuestos en esta secuencia. (Esto muestra que en la demostración del teorema de Euclides, estos números no son necesariamente primos, por lo que es necesario observar los factores primos de estos números).

¿Hay alguna manera de demostrar que todos los números no son necesariamente primos de una manera diferente a la computación de varios valores?

Answer 1

Esta no es una respuesta, sólo una intuición. Ciertamente, no es una rigurosa prueba.

Vamos a tomar el tiempo para formalizar su notación y terminología. $p_i$ nos da el $i$th prime, comenzando con $p_1 = 2$, pasando de 3 y todos los impares, números primos. A continuación, $n$ primorial es $$n\# = \prod_{i = 1}^n p_i$$ and the $n$th "Euclid number" is $1 + n\#$.

Así que los números que usted está considerando, se enumeran en Sloane del http://oeis.org/A006862 2, 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, etc. (relación $p_0 = 1$, que es conveniente a veces).

Tenga en cuenta que $\sqrt 3 < 2$, e $2 < \sqrt 7 < 3$. Pero ya con 31 tenemos $\sqrt{31} > 5$ por un ligero margen. Y claramente $\sqrt{211} > 7$ por sobre lo que mucho.

Entonces, como $n$ se hace más grande, el golfo entre el $p_n$ $\sqrt{1 + n\#}$ se ensancha. Por el teorema de los números primos, sabe que hay algo como $$\frac{\sqrt{n\#}}{\log \sqrt{n\#}} - \frac{p_n}{\log p_n}$$ primes between $p_n$ and $\sqrt{n\#}$.

Obviamente $1 + n\#$ no es divisible por cualquier primos entre 2 y $p_n$. Aquí está la intuición de la parte: puede ser siempre el caso de que ninguno de los números primos entre $p_n$ $\sqrt{n\#}$ brecha $1 + n\#$?