Explotar$\{x_1^4+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0\}\subset\mathbb{C}^4$ dos veces en el origen

Question

Sé que la definición de la estallar en un punto, pero sólo han calculado extremadamente fácil de los casos. Estoy leyendo un papel en el que la variedad $$x_1^4+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0$$ es volado dos veces en el origen. Ahora traté de calcular lo que sería similar, pero para ser honesto, no tengo idea de qué hacer aquí. Así que de acuerdo a mi definición el golpe hasta obtendríamos la variedad $$ \begin{equation*} V(x_1y_2=x_2y_1,\\ x_1y_3=x_3y_1,\\ x_1y_4=x_4y_1,\\ x_2y_3=x_3y_2,\\ x_2y_4=x_4y_2,\\ x_3y_4=x_4y_3,\\ x_1^4+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0 ) \end{ecuación*}\subconjunto \mathbb{C}^4\times \mathbb{P}^3$$ Pero ahora, ¿qué? Esto parece bastante feo y viable para mí. Y Ahora, Para ser honesto, yo no sé ni lo que significaría para hacer estallar el 'origen' aquí de nuevo, ya no sé cuál es el origen de $\mathbb{C}^4\times \mathbb{P}^3$ es?

Sería muy apreciado si alguien pudiera trabajar este cálculo en detalle.

Answer 1

El blow-up como un subscheme de $\mathbb{C}^4\times \mathbb{P}^3$ estándar viene con afín a los gráficos, que son donde uno de los co-coordina $y_j$ es distinto de cero. Usted puede trabajar esto para cada una de las $j$, pero aquí el interesante caso es $j=1$. Luego el golpe de fórmulas que escribió decir $$x_i = x_1 (y_i y_1^{-1}),$$ where $x_1$ and the $y_i y_1^{-1}$ are affine co-ordinates on this chart. Putting this into the equation of the hypersurface singularity gives $$0 = x_1^4 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = x_1^4 + x_1^2 (y_2 y_1^{-1})^2 + x_1^2 (y_3 y_1^{-1})^2 + x_1^2 (y_4 y_1^{-1})^2 = x_1^2 ( x_1^2 + (y_2 y_1^{-1})^2 + (y_3 y_1^{-1})^2 + (y_4 y_1^{-1})^2).$$ If we write say $z_i = y_i y_1^{-1},$ this equation is $$x_1^2(x_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2) = 0.$$ In this chart, the exceptional divisor is the locus of $x_1 = 0$ (because if $x_1 = 0$ then all $x_i = x_1 (y_i y_1^{-1})$ are zero too, so the whole hyperplane $x_1 = 0$ maps to the origin in $\mathbb{C}^3$), and the proper transform of our hypersurface singularity is $$x_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2 = 0.$$ That's the result of one blow-up, in this chart. You see that the thing is still singular at the origin, meaning the point $x_1 = z_2 = z_3 = z_4 = 0$. If you do another blow-up, the result looks the same in each affine chart; the proper transform is $$1 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2 = 0,$$ say. You might want to check that if you look at the other standard charts of the blow-up of the singularity we started with, $x_1^4 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 0$, the result is non-singular at the origin. (You should get some equation like $w^2 ( x^4 w^2 + y^2 + z^2 + 1) = 0$ para la total transformación en las otras tablas.)