¿Probabilidad de escoger un número impar de la serie de productos naturales?

Question

Sé que hay una distribución uniforme de un conjunto infinito numerable, pero me pregunto si todavía hay una manera para determinar la probabilidad de selección de un subconjunto de un conjunto infinito numerable.

Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que escoger un número impar de la serie de productos naturales, suponiendo que estoy escogiendo al azar? ¿Incluso es una pregunta coherente? ¿Si, hay un enfoque de libros de texto a este problema en teoría de la medida teoría/probabilidad/probabilidad de medir?

¡ Gracias!

Answer 1

Esta es una gran pregunta que yo así no sabe la respuesta.

También la probabilidad no puede ser 1. Si la probabilidad de elegir un número impar es 1, entonces el complemento de la probabilidad de elegir un número es 0). Sin embargo, hay el mismo número de los números impares y números, por lo tanto, podemos utilizar la misma prueba para demostrar que la probabilidad de elección de un número es el 1, que conduce a una contradicción.

Supongo que el otro enfoque es definir en primer lugar nuestra medida. Podemos utilizar la normalizado recuento de medida (densidad) como nuestra medida de probabilidad en $(\mathbb{N}, 2^\mathbb{N})$ sólo tenemos el conjunto a es finito. Esta medida implicaría que la probabilidad es la misma para cada número natural.

$$\mu(A) = \begin{cases} |A| & \text{if %#%#% is finite} \\ \infty & \text{if %#%#% is infinite} \end{casos}$$

El único problema que se plantea es que nuestro conjunto es infinito, que nos impide tener un recuento de medida de la probabilidad de medir (no podemos dividir por el infinito). A lo mejor me equivoco, pero parece que en el fin de resolver este problema podemos, a continuación, cortar los números naturales en un conjunto de intervalos, y demostrar que es cierto para cada intervalo. A continuación, puede extender a los mapas de proyección.

Escribimos el mapa de proyección como: $A$k\in \mathbb{N}$A$ $$\pi_k(\mathbb{N}) = \{k, k+1\} \text{ for any $\mu_k$ }$(\{k, k+1 \}, 2^{\{k, k+1\}})$ and define the new measure$$ on $$ as $Un \2^\mathbb{N}$\mu_k(A) = \mu(A \cap \pi_k(\mathbb{N})) = \mathbb{P}(A)$\{k, k+1 \} \cup \{k+2, k+3\} = B$ for any $\mu(B) = \frac{\mu_k(B) + \mu_{k+2}(B)}{2}$, suponiendo que normalizar cada densidad en orden para que sea una medida de probabilidad.

Deje $. Now we solve what happens when we add union two spaces together to our probability. It seems that we must prove the probability is then the average the measures together, i.e., if we union the interval$ impares números naturales$, then our measure would be$. A continuación, podemos extender la medida a un límite, después de darse cuenta de $O = \{$ cualquier $\}$. Nuestro límite $\mu_k(O) = \mu_{k+2}(O) = \dots = \mu_{k+2n}(O) = \frac12$n\in\mathbb{N}$$

Por favor me corrija si encuentra alguno de los principales errores.

Answer 2

Me di cuenta la solución más inteligente que no requiere todo el conocimiento de la medida. Sea $O$ el conjunto de los números naturales impares y $E$ el conjunto de números naturales incluso. Después aviso que nuestra probabilidad contando medida se denota $\mathbb{P}$ $(\mathbb{N}, 2^\mathbb{N})$ resultados $$\mathbb{P} (O) = \mathbb{P}(E) = \mathbb{P}(O^c).$$ Thus we have $$\mathbb{P}(\mathbb{N}) = \mathbb{P}(O\cup O^c) = \mathbb{P}(O) + \mathbb{P}(O^c) = 2\mathbb{P}(O),$$ on the other hand $$\mathbb{P}(\mathbb{N}) = 1.$$ This results in $\mathbb{P}(O) = \frac12$