Deje z ser un número complejo tal que$z^2 +z + 1/z^2 + 1/z + 1=0 $

Question

Si n es un número natural, entonces encuentra que el valor de$ z^{2012n} + z^{1006n} + 1/z^{2012n} +1/z^{1006n} $ es igual a.

Intenté volver a escribirlo como$ t^2+t-1=0 $ donde$ t=z+1/z $ y luego encontrar raíces, pero no sé cómo usarlo para obtener el valor requerido.

Answer 1

Consejo. Reescribir la condición en $z$ como

$$ \frac{z^4+z^3+z^2+z+1}{z^2} = \frac{1-z^5}{z^2(1-z)} = 0 $

¿Qué lo dice acerca de $z$? Ahora considere los posibles valores de $2012n, 1006n, -2012n, -1006n$ modulo $5$.

Answer 2

INSINUACIÓN:

Como$z\ne0,$ se multiplica por% en$z^2$

$$z^4+z^3+z^2+z+1=0\implies z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0\implies z=e^{2\pi m i/5}$$ where $ m \ equiv1,2,3,4 \ pmod5 $