No recuerdo dónde pero he leído que un sistema numérico puede tener como base una matriz. ¿Es cierto? ¿Cuál es la intuición de tener un sistema así?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No sé dónde has leído que un sistema numérico puede tener como base las matrices. Sí me encontré con lo que sigue, pero no creo que la afirmación sea que "cualquier" ("todo") sistema numérico pueda tener matrices como base, ni que si existe un sistema numérico con todo matrices que le sirven de base; más bien, si tal base existe, el criterio para determinar las matrices que la componen es bastante excluyente.
Tal vez quiera echar un vistazo al "Proyecto BinSys: Sistemas numéricos binarios generalizados"; véase Proyecto BinSys para una descripción más detallada y enlaces adicionales.
Aquí hay un extracto (abajo), que confirma que, efectivamente, se está trabajando en el desarrollo de un "sistema numérico con una matriz como base, en la que [ciertos] vectores son los dígitos...". No he leído todos los detalles sobre el proyecto BinSystem, pero la introducción de abajo puede ayudar a responder a tu pregunta.
Introducción
"Sea n un número entero mayor que uno. Cuando hablamos de sistemas numéricos en el sentido original, utilizamos el hecho de que cada número natural z puede escribirse de forma única en la forma finita
$$ z = \sum_j d_jn^j, \text{ where}\;\; d_j = 0, 1, \dots, n-1$$
"Decimos que n es la base del sistema numérico, la $d_j$ se llaman los dígitos. Si $n = 2$ entonces hablamos de un sistema numérico binario. Estos sistemas son demasiado pobres para representar números negativos, por lo que necesitamos un signo. Si permitimos que la base sea un número entero negativo, puede ser posible una representación de todos los números enteros. Así, por ejemplo, si utilizamos la base -2, cada número entero tiene una forma $$z = \sum_j d-j(-2)^j, \text {where}\;\; d_j = 0 \text{ or } 1$$
"Esto se puede generalizar para los enteros algebraicos de una extensión finita del campo de números racionales. Un ejemplo sencillo: todos los enteros de Gauss (números complejos de la forma $x+yi$ , donde $x,y$ son números enteros) se pueden escribir de forma única en la base $(-1+i)$ de la siguiente manera: $$z = \sum_j d_j(-1 + i)^j, \text{ where}\;\; d_j = 0 \text{ or } 1$$
"Utilizando el álgebra lineal podemos definir los sistemas numéricos de una manera aún más general. La base es ahora una matriz y los dígitos son vectores. Podemos reformular el ejemplo anterior. Cada vector entero bidimensional tiene una representación como suma finita: $$v = \sum_jM^jd_j,$$ donde $$M = \left(\matrix{-1, -1 \\1, -1}\right) \text{ and } d_j =\left( \matrix{0 \\ 0}\right)\text{ or } \left( \matrix{1 \\ 0}\right)$$ "...Hablamos de un sistema binario si el determinante de "M" es ±2. En este caso sólo hay dos dígitos, siendo uno de ellos el origen. Esto significa que si tenemos un sistema numérico entonces cada vector entero puede ser representado como una serie finita de 0s y 1s".
"No toda matriz M puede ser una base del sistema numérico. Hasta ahora no se ha dado ninguna caracterización de las matrices "buenas". Hay condiciones suficientes y otras necesarias, pero la distancia entre ellas es demasiado grande. No se conoce ningún método eficaz para tratar las matrices que cumplen las condiciones necesarias pero fallan las condiciones suficientes. Hay que tener en cuenta que si fijamos el determinante y la dimensión, a grandes rasgos sólo hay un número finito de matrices posibles.
Resultados esperados
"El programa tiene como objetivo encontrar muchos sistemas numéricos binarios generalizados. Se realiza una búsqueda extensiva en el conjunto finito de matrices de tamaño dado que cumplan algunas condiciones necesarias. La dificultad es que el tamaño de este conjunto finito es una función exponencial de la dimensión. Ahora parece posible atacar el caso de las matrices de 11 X 11. Para comprobar otras condiciones necesarias, el programa realiza muchos cálculos en coma flotante. Por lo tanto, se necesita mucho tiempo de CPU. Por suerte, la paralelización es posible y podemos beneficiarnos de la ejecución en varias máquinas.
"El programa produce una lista de matrices (siendo más precisos polinomios característicos) que ya son susceptibles de ser bases de sistemas numéricos. Esta lista es procesada por otro programa (que no necesita tanta CPU). El resultado final es entonces una lista (completa) de sistemas numéricos binarios en una dimensión fija.
"A continuación, realizamos un análisis teórico de la información. Los sistemas numéricos proporcionan una representación binaria de los vectores enteros. Mediante coordenadas tenemos otra representación (más estándar). Las dos representaciones suelen diferir en cuanto a su longitud. Además, los vectores cercanos entre sí en el espacio pueden tener representaciones binarias muy diferentes. Estas observaciones sugieren que se podrían aplicar sistemas numéricos en la compresión de datos, la codificación o la criptografía.
"Los sistemas numéricos también son interesantes desde el punto de vista geométrico. Si permitimos que aparezcan potencias negativas de M en la representación binaria obtenemos una representación posiblemente infinita de vectores reales (podríamos decir que utilizamos un punto de radix). La frontera del conjunto de vectores con representación binaria que contiene sólo potencias negativas de M (el conjunto H de números con parte entera nula) tiene sobre todo dimensión fraccionaria (es un "fractal"). La salida del programa puede utilizarse para analizar estos conjuntos. Se trata de un análisis topológico, por ejemplo, el cálculo de la dimensión, la conectividad, etc. Si utilizamos la matriz M anterior, obtenemos el siguiente conjunto:
"Por último, conocer todas las matrices hasta una dimensión determinada podría ayudarnos a una comprensión más profunda de las matemáticas de los sistemas numéricos generalizados".
Nombre del proyecto: Sistemas numéricos binarios generalizados
Propietario: Universidad Eötvös Loránd, Facultad de Informática, Departamento de Álgebra Computacional
Líder: Attila Kovács, PhD.
Socio: SZTAKI Desktop GRID
Laboratorio de Sistemas Paralelos y Distribuidos
Miembros: Péter Burcsi, Norbert Podhorszki PhD, Gábor Vida, Ádám Kornafeld
