Transformación de Laplace de una función gaussiana con variable compleja

Question

La transformada bilateral de Laplace de una función gaussiana podría establecerse como $$e^{x^2/2}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-xy}e^{-y^2/2} dy$$

Entonces lo que debería ser una relación similar para una función gaussiana con variable compleja: $e^{z^2/2}$ ?

Answer 1

Dejemos que $z$ sea un número complejo. La integral es convergente para todo $z \in \mathbb{C}$ . Completando el cuadrado obtenemos: $$ \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-z \cdot y} \mathrm{e}^{-y^2/2} \mathrm{d} y = \mathrm{e}^{z^2/2}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(y+z)^2/2} \mathrm{d} y $$ Esta última integral multiplicando la $\mathrm{e}^{z^2/2}$ es una constante independientemente de $z$ . Evaluándolo en $z=0$ establece el resultado.

Answer 2

$$e^{x^2/2}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-xy}e^{-y^2/2} \, dy$$

No estoy seguro del significado de la pregunta, pero tal vez quieras decir que si $x$ es complejo y no necesariamente real (por lo que lo estás llamando $z$ ), pero, por supuesto, la transformación sigue estando definida por una integral de $-\infty$ a $\infty$ a lo largo de la línea real.

Esto es lo que yo pensaría al respecto:

• Utilice el teorema de Morera para demostrar que $z\mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-zy}e^{-y^2/2}\,dy$ es una función analítica; y entonces

• Demuestre que si su valor es $e^{z^2/2}$ cuando $z$ es real, entonces debe seguir siendo $e^{z^2/2}$ cuando $z$ no es real.

El segundo paso se realiza recordando que si dos funciones de una variable compleja coinciden en la recta real y ambas son analíticas, entonces también coinciden fuera de la recta real.

Para el primer paso, necesitamos demostrar que si se integra esta función de $z$ a lo largo de cualquier curva cerrada simple, se obtiene $0$ . El teorema de Morera dice que eso implica que la función es analítica.

Así que tenemos $$ \begin{align} & {} \quad \int_\text{closed curve} (\text{function of }z)\,dz = \int_\text{closed curve} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-zy} e^{-y^2/2}\, dy\right) \, dz \\[10pt] & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \left( \int_\text{closed curve} e^{-zy} e^{-y^2/2} \, dz \right)\, dy\tag{by Fubini's theorem} \\[10pt] & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty 0 \, dy\tag{by Cauchy's theorem} \\[10pt] & = 0. \end{align} $$ El teorema de Fubini dice que las dos integrales iteradas (es decir, integrando en dos órdenes diferentes: $y$ primero o $z$ primero) son iguales si la integral doble del valor absoluto de la función es finita.

El teorema de Cauchy dice que cuando integras una función analítica alrededor de una curva cerrada simple---(la función es analítica en todas partes en la región delimitada por la curva)--- entonces se obtiene $0$ .

Edición posterior: Hay dos cuestiones que no se han abordado anteriormente:

• ¿Para qué valores de $z$ es esta función de $z$ ¿realmente está definida por la integral? Es decir, la función que integras debe ser integrable en el sentido de que la integral de su valor absoluto es finita. Eso se supone antes de aplicar el teorema de Fubini. Y si eso no ocurre, tendríamos que preocuparnos por el tipo de convergencia de las integrales impropias en el que deberíamos pensar.

• ¿Puede la función de $z$ sea continuando con el análisis en regiones donde la integral que la define no se comporta bien?