Si , , Y , Entonces

Question

Solo me falta comprobar el razonamiento en mi prueba es correcta, creo que es válido, aunque no estoy totalmente convencido de que ya no puede seguir la lógica; ¿ demostrando que $x$ es un número entero demostrar que $ac|bd$?

Teorema: Vamos a $a$, $b$, $c$, $d$ ser números enteros. Si $a|b$$c|d$,$ac|bd$.

Prueba: $aj=b$ $ck=d$ para los números enteros $j$, $k$. A continuación, $ac|bd$ implica $acx=ajck$ e lo $x=jk$ algunos $x$. Desde que el producto se $jk$ es un número entero, $x$ es un número entero y por lo tanto $acx=ajck$ e lo $ac|bd$.

Answer 1

SUGERENCIA $\ \:$ Anotando $\displaystyle\rm\ \ \ a\ |\ b\:\iff\: \frac{b}a\in \mathbb Z$

se observa que el $\rm\quad a\ |\ b,\ c\ |\ d\ \ \Rightarrow\ \ a\:c\ |\ b\:d $

es equivalente a $\rm\displaystyle\:\ \ \frac{b}a,\:\frac{d}c\in\mathbb Z\ \ \Rightarrow\ \frac{b\ d}{a\ c}\in\: \mathbb Z$

en su notación $\rm\quad j\:,\:k\ \in\ \mathbb Z\ \ \Rightarrow\:\ \ \ j\ k\ \in \: \mathbb Z$

Eso es cierto! (multiplicar enteros, se obtiene un número entero)

EDICIÓN de $\ $ Ya que en base a los comentarios, al menos un lector parece haber malinterpretado la intención de mi respuesta, me elaborar a continuación. Cuando me envió esta respuesta, ya hay un par de respuestas que explican la lógica falla en la propuesta de la prueba en la pregunta. Que hacer, mi intención era que en lugar de dirigirse a otro punto, a saber, cómo uno puede explotar la innata aritmética de la estructura con el fin de alcanzar una más sencilla y conceptual de la prueba. A continuación he elaborado en esta mostrando como la "aritmética" de la divisibilidad relación está íntimamente conectado con la media aritmética de la sub-anillo $\rm\:\mathbb Z\subset\mathbb Q\:.$

En primer lugar, observe cómo la anterior prueba deja claro que este producto de la regla de la divisibilidad es esencialmente equivalente a la regla del producto para la integralidad, es decir, si $\rm\:j,k\:$ son enteros, entonces también lo es su producto $\rm\:j\:k\:.\:$ de Hecho, como vimos anteriormente, esta integralidad del producto regla fácilmente implica la divisibilidad producto de la regla. Por el contrario, si la divisibilidad del producto regla es verdadera, entonces se especializa $\rm\ a = 1 = c\ $ podemos deducir que los $\rm\: 1\:|\:b,\ 1\:|\:d\ \Rightarrow\ 1\:|\:\:b\:d\:,\ $ es decir $\rm\ b,d\in\mathbb Z\ \Rightarrow\ b\:d\in \mathbb Z\:\ $ (nota:$\rm\ 1\:|\:n\iff n/1\in \mathbb Z\:,\:$, por definición).

Del mismo modo, se deduce la equivalencia entre la divisibilidad diferencia de la regla, a saber, que $\rm\ a\ |\ b,\:c\ \Rightarrow\ a\ |\ b-c\ $ y el hecho de que $\rm\:\mathbb Z\:$ es cerrado bajo la diferencia de $\rm\:j,\:k\in \mathbb Z\ \Rightarrow\ j-k\in\mathbb Z\:.\:$

La combinación de estas observaciones nos lleva a la siguiente equivalencia entre la media aritmética de la divisibilidad de las relaciones y subrings $\rm\:Z\:$ $\:\mathbb Q\:$ (o cualquier campo).

TEOREMA $\ $ Deje $\rm\ 1\in Z\ $ ser un subconjunto de a $\rm\:\mathbb Q\:.\:$ Deje $\:|\:$ ser la relación de divisibilidad $\rm\: \ a\ |\ b \iff b/a\in Z\:$ $\rm\: 0\ne a,b\in Z\:,\:$ $\rm\ 0\ |\ b\ \iff b = 0\:.\:$ Los siguientes son equivalentes.

$\rm(1)\quad Z\ $ es un sub-anillo de $\rm\:\mathbb Q$

$\rm(2)\ \ $ La relación $\:|\:$ satsifies las siguientes propiedades.

$\rm\quad\quad(D1)\quad a\ |\ b,\:c\ \Rightarrow\ a\ |\ b-c\quad\quad\ $ todos los $\rm\:a,b,c\in Z$

$\rm\quad\quad(D2)\quad a\ |\ b,\ c\ |\ d\ \Rightarrow\ a\:c\ |\ b\:d\ \ \ $ todos los $\rm\:a,b,c,d\in Z$

Answer 2

Tu razonamiento va en la dirección incorrecta; quiere demostrar que$ac\mid bd$, es decir, que existe un$x$ tal que$acx=bd$, suponiendo que$a\mid b$ y$c\mid d$. Esto se hace simplemente mostrando que$x=jk$ funciona.

En otras palabras, la oración que comienza con "Entonces$ac\mid bd$% implica ..." no puede ser parte de un argumento que$ac\mid bd$ es verdadero. Si$P$,$Q$ y$R$ son enunciados, entonces mostrar que$P\Rightarrow R$ y$Q\Rightarrow R$ no muestra ese$P\Rightarrow Q$.

Answer 3

Si usted está teniendo problemas con estos tipos de pruebas, a menudo es mejor comenzar por escribir lo que te dan en el lado izquierdo del papel y donde usted está tratando de conseguir en el lado derecho.

a|b ac | bd
c|d

A continuación, llene en lo que puede a partir de las definiciones:

b = aj bd = ack
d = ci

Ahora el uso de inferencias a jugar con las cosas de la izquierda y el objetivo para lo que tiene en la derecha. Cada vez, usted necesita para asegurarse de que lo que tienen que implica lo que usted escribe junto.

También se puede trabajar de derecha a izquierda, pero tienes que tener cuidado. Aquí usted necesita para asegurarse de que los pasos son "si y sólo si", de modo que usted puede ir hacia atrás, de izquierda a derecha si finalmente se reúnen en el centro del papel.

Saber cuándo es seguro hacer un paso en particular, ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda viene de ser extremadamente cuidadoso y de saber exactamente qué está pasando. Hay puzzles de falsas pruebas donde se ponen a prueba en este. Un ejemplo común es

a=b
(a-b)c = (a-b)d así que c = d

Se ve bien, ¿verdad? Pero dado que a=b le deben de haber notado que (a-b)=0 y no se puede cancelar cero de ambos lados.

De todos modos, llegar a ser bueno en esto que se llama "madurez en matemáticas" y que, como la mayoría de los tipos de madurez, se toma su tiempo.

Answer 4

Tu idea es buena, pero hay algunas dificultades de redacción. Cuando usted escribe "$ac|bd$ implica que" empieza a sonar como si usted va en la dirección equivocada. "Si y sólo si" hubiera estado bien.

Usted debe tener por escrito en lugar de algo como esto, que por cierto es también más corto.

"A continuación,$bd=(aj)(ck)=(ac)(jk)$. Así que si dejamos $x=jk$,$(ac)x=bd$. De ello se desprende que $ac$ divide $bd$."

Permítanme que lo repita, que sabía exactamente lo que estaba pasando. Pero hay una cierta incomodidad en la exposición que algo enmascarado que hecho.