Demostrar que $(z^3-z)(z+2)$ es divisible por $12$ % enteros todos $z$

Question

Soy estudiante y esta pregunta es parte de mi tarea.

Puede usted decirme si mi prueba es correcta?

Gracias por su ayuda!

Demostrar que $(z^3-z)(z+2)$ es divisible por $12$ para todos los enteros $z$.

$(z^3-z)(z+2)=z(z^2-1)(z+2)=z(z-1)(z+1)(z+2)=(z-1)(z)(z+1)(z+2)$

$(z-1)(z)(z+1)(z+2)$ significa que el producto de $4$ números consecutivos.

Cualquier conjunto de $4$ números consecutivos ha $2$ números, a continuación, $(z-1)(z)(z+1)(z+2)$ es divisible por $4$.

Cualquier conjunto de $4$ número consecutivo tiene al menos un número que es múltiplo de $3$, $(z-1)(z)(z+1)(z+2)$ es divisible por 3.

Por lo tanto, $(z-1)(z)(z+1)(z+2)$ es divisible por $12$. Q. E. D.

Answer 1

Eso es correcto. O bien es divisible por $\,24\,$ por integralidad de Coeficientes binomiales

$$\,(z+2)(z+1)z(z-1)\, =\, 4!\ \dfrac{(z+2)(z+1)z(z-1)}{4!}\, =\, 24{ {z+2\choose 4}}\qquad\qquad$$

Del mismo modo $\,n!\,$ divide el producto de $\,n\,$ productos naturales consecutivos.