¿Hay alguna importancia en el orden en que grupo se presentan los axiomas?

Question

Sé que los libros tienen ligeramente diferentes formas de presentación de los axiomas, pero creo que tienden a ir como esto: El grupo es un conjunto con una ley de composición con el cierre que satisface las siguientes propiedades (i) la asociatividad, es decir, a(bc) = (ab)c (ii) la identidad, es decir, 1a = a1 = a (iii) la inversa, es decir, cada elemento de a tiene una inversa, tales que ab = ba = 1.

Michael Artin del "Álgebra", no hizo mención de esto, pero Fraleigh "Un Primer Curso de Álgebra Abstracta" implicaba que era importante que los axiomas se en que orden específico, y no funciona de ninguna otra manera.

¿Por qué es esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como m.k. dice en los comentarios, para que los axiomas de sentido (ya que suelen ser presentados) es necesario establecer la identidad antes de matrices inversas. Aparte de que los axiomas pueden ser establecidas en cualquier orden que uno desee. (Como dice William, es posible escribir la identidad de $e$ como un gran símbolo en lugar de simplemente postulan la existencia de la identidad como un axioma, y en ese caso no es necesario hacer esto).

Sin embargo, creo que el orden que usted haya declarado en es buena porque, como Hurkyl dice, tomando un segmento inicial de los axiomas conduce a otras teorías de interés independiente:

• Tomando sólo la asociatividad le da un semigroup.
• Tomando la asociatividad y la identidad le da un monoid.

Así como los grupos de resumen de las colecciones de las simetrías de un conjunto, semigroups y monoids resumen de las colecciones de funciones de un conjunto a sí mismo (no necesariamente invertible), y por esa razón también son naturales e importantes para el estudio. Sin embargo, a menudo es difícil decir nada útil acerca de ellos. Por ejemplo, grupos finitos tienen algún buen número de la teoría de la estructura de ellos, porque de los resultados como del teorema de Lagrange, y del teorema de Lagrange falla muy mal para un finito monoids.

Answer 2

El orden de los axiomas no tiene ningún contenido técnico: es puramente una cuestión de exposición.

A veces, un segmento inicial de los axiomas se presenta una teoría que es interesante por derecho propio, y que se quiera estudiar que antes de la adición de los axiomas. Por ejemplo, la moderna presentación formal de la geometría Euclidiana por lo general comienza con los axiomas de la incidencia de la geometría.

A veces, las ramificaciones de un axioma podría tener más sentido si los otros axiomas se presentan en primer lugar.

A veces, es mucho más fácil para el estado un axioma en la presencia de otras anteriores. Por ejemplo, en Zermelo la teoría de conjuntos, el axioma de infinitud es mucho más fácil para el estado si puede hacer referencia a un conjunto vacío, y así es más sencillo para el estado después de que el axioma del conjunto vacío.