Conversión de polar a rectangular

Question

¿Puede alguien explicarme cómo convertir la siguiente ecuación de polar a rectangular?

r= $2^\theta$

Hasta ahora tengo:

$4^{\arctan(y/x)}$ = $x^2$ + $y^2$

elevando al cuadrado ambos lados y sustituyendo $r^2$ con $x^2$ + $y^2$ y $\theta$ con $\arctan(y/x)$

Sin embargo, cuando hice la gráfica de ambos, no eran iguales y, por lo tanto, creo que me equivoqué en alguna parte.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Perdón por el formato, soy nuevo en esto y no muy bueno.

Gracias

Answer 1

Este es el gráfico que desea ( $r=e^{\theta}$ ):

Este es el gráfico que se obtiene de su intento de solución ( $4^{\tan^{-1}(y/x)}=x^2+y^2$ ):

Tu ecuación tiene tres problemas. Primero, obtienes dos espirales en lugar de la que deseas. Segundo, obtienes sólo una parte de la espiral, porque $\theta$ es demasiado limitada. En tercer lugar, si la espiral continuara, se producirían agujeros en cualquier punto donde $x=0$ .

Estos problemas tienen la misma causa: utilizar la función arctangente estándar de $y/x$ . La función arctangente no distingue entre los puntos del primer y tercer cuadrante, ni entre el segundo y el cuarto cuadrante. Así se obtienen las dos espirales. (A esto se refiere @Narasimham en su respuesta.) Incluso si se ignora esto, $\tan^{-1}\frac yx$ no es exactamente igual a $\theta$ . La función arctangente es, en efecto, una función, por lo que limita theta a $-\pi/2<\theta<\pi/2$ . La función atan2 amplía el rango a $-\pi<\theta\le\pi$ . Pero la gráfica polar no se limita a ninguno de esos rangos para theta. Por último, el uso de la función arctangente estándar requiere el uso de $y/x$ que no está definido para $x=0$ ya que hay una división por $x$ .

Podemos eliminar el primer y tercer problema utilizando $\mathrm{atan2(x,y)}$ en lugar de $\tan^{-1}\frac yx$ . El segundo problema se elimina mirando el resto de los ángulos después de la división por $2\pi$ . Desgraciadamente, la función atan2 da el rango equivocado para hacer esto convenientemente, por lo que debemos comprobar también su resto.

Aquí está mi ecuación cartesiana para su gráfico.

$$\mathrm{fract}\left(\frac{\mathrm{atan2}(x,y)-\log_4(x^2+y^2)}{2\pi}\right)=0$$

o quizás

$$\mathrm{mod}(\mathrm{atan2}(x,y)-\log_4(x^2+y^2),2\pi)=0$$

Lamentablemente, no tengo un programa de gráficos que grafique relaciones cartesianas generales y que permita la función atan2. Lo mejor que puedo hacer es reemplazar $\mathrm{atan2}(x,y)$ con $\mathrm{if}(x>0,\tan^{-1}(y/x),\tan^{-1}(y/x)+\pi)$ que deja algunos artefactos en mi grafo.

¿Podría alguien graficar esto por mí y confirmar que es correcto? Además, ten cuidado en el uso de atan2. Algunos entornos utilizan $\mathrm{atan2}(x,y)$ mientras que otros utilizan $\mathrm{atan2}(y,x)$ . Asegúrese de que sus parámetros están en el orden correcto para su graficador.

Answer 2

Las fórmulas $$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta\tag{1}$$ relacionar coordenadas polares y rectangulares en la dirección que necesitamos aquí. Su ecuación $$r=r(\theta)=2^\theta\qquad (-\infty<\theta<\infty)$$ es una de las llamadas representación polar de una curva $\gamma\>$ : Cada $\theta\in{\mathbb R}$ determina un rayo que emana en el origen $O$ y se le dice que marque el punto $P$ en este rayo a la distancia $r=r(\theta)$ de $O$ . Las fórmulas $(1)$ permiten entonces calcular las coordenadas rectangulares de $P$ . De esta manera obtenemos una representación paramétrica de $\gamma$ en la forma $$\gamma:\quad \theta\mapsto\bigl(x(\theta),y(\theta)\bigr):=\bigl(2^\theta\cos\theta, \>2^\theta\sin\theta\bigr)\qquad (-\infty<\theta<\infty)\ .\tag{2}$$ En esta parametrización $\theta$ no es una cantidad variable cualquiera, sino que tiene un significado geométrico: En cualquier instante $\theta$ es hasta un múltiplo de $2\pi$ el ángulo polar del punto móvil.

Si quieres trabajar con la curva $\gamma$ por ejemplo, calcular curvaturas, longitudes o áreas, entonces $(2)$ es la forma preferida de describirlo. Si prefiere una descripción implícita en lugar de un "esquema de producción", podría definir $\gamma$ como $$\gamma:=\left\{(x,y)\in \dot{\Bbb R}^2\>\biggm|\>{\log(x^2+y^2)\over\log 4}\in{\rm arg}(x,y)\right\}\ .$$ Aquí ${\rm arg}$ es una función con valor de conjunto que da el ángulo polar de $(x,y)$ (o $z=x+iy$ ) "hasta múltiplos de $2\pi$ ".

Answer 3

Hay dos arctan, debe elegir atan2 que se encarga del signo en todos los cuadrantes, de lo contrario obtendrá un gráfico correcto sólo en el primer cuadrante.

EDIT1:

¿Sigue sin funcionar? El atan2 sensible al cuadrante de Fortran se implementa de forma ligeramente diferente entre los distintos softwares. En mathematica se utiliza ArcTan[x, y].

AA = PolarPlot[ 2^t, {t, 0, Pi}, PlotStyle -> Thick, GridLines -> Automatic]
BB = ContourPlot[ 4^ArcTan[x, y] == x^2 + y^2 , {x, -10, 3}, {y, 0, 4},ContourStyle -> Red]
Show[{AA, BB}, AspectRatio -> Automatic]

Answer 4

$\DeclareMathOperator{\ARCCOT}{arccot}\newcommand{\arccot}{\ARCCOT}$ Como probablemente sepas, el gráfico polar $r = 2^{\theta} = e^{\theta\log 2}$ es una espiral logarítmica. Por "convertir la polar en rectangular", se entiende normalmente "encontrar una función elemental $f$ tal que $f(x, y) = 0$ es precisamente la gráfica polar". (Por ejemplo, $r = \cos\theta$ se convierte en $x^{2} + y^{2} - x = 0$ o $r = a\sec\theta$ se convierte en $x - a = 0$ .)

En este caso, las cosas se complican, porque su curva no es un "subconjunto cerrado" del plano: Como $\theta \to -\infty$ La gráfica se aproxima al origen, pero el origen no está en la gráfica. Esto significa que cualquier $f$ que describe su curva es discontinua (o indefinida) en $(0, 0)$ .

Segundo, $f$ no puede ser una función polinómica o racional porque (por ejemplo) la espiral cruza la $x$ -eje infinitas veces, pero no es en sí mismo el $x$ -eje.

Por último, hay una molestia molesta (señalada también por otras respuestas): $\theta$ es un valor múltiple en cada rayo que pasa por el origen, y su curva cruza cada rayo infinitas veces. Esto significa que necesitas algo como una función "a trozos" $f$ con infinitos casos (uno por cada valor de $\theta$ a lo largo de un rayo particular) para obtener la espiral completa.

Su intento, $x^{2} + y^{2} = 4^{\arctan(y/x)}$ , trabaja en el medio plano derecho $x > 0$ en la que el rama principal de $\arctan(y/x)$ es la rama de $\theta$ satisfaciendo $-\pi/2 < \theta < \pi/2$ . Dejar $k$ sea un número entero arbitrario, y dejando que $\arctan$ y $\arccot$ denotan ramas principales, esto funciona: $$f(x, y) = \begin{cases} x^{2} + y^{2} - 4^{\arctan(y/x) + 2k\pi} &\quad x > 0; \\ x^{2} + y^{2} - 4^{\arccot(x/y) + 2k\pi} &\quad y > 0; \\ x^{2} + y^{2} - 4^{\arctan(y/x) + (2k+1)\pi} &\quad x < 0; \\ x^{2} + y^{2} - 4^{\arccot(x/y) + (2k+1)\pi} &\quad y < 0. \end{cases}$$ Los dominios de definición se superponen; les dejo el ejercicio de que cuando dos dominios se superponen, las elecciones adecuadas de $k$ dan la misma rama de $\theta$ .