¿Problema 3.1.2 en Liu - omisión en la declaración del problema?

Question

Ejercicio 3.1.2 en Liu Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas es la siguiente.

Deje $f:X\rightarrow Y$ ser una de morfismos de esquemas. Para cualquier esquema de $T$, deje $f(T):X(T)\rightarrow Y(T)$ denotar el mapa definido por $f(T)(g)=f\circ g$. Muestra que $f(T)$ es bijective para cada $T$ si y sólo si $f$ es un isomorfismo (uso de la identidad morfismos en $X$ y $Y$).

Siento que esto está mal indicado. Con el fin de tener secciones de más de un esquema de $T$ no $X$ $Y$ necesitan ser $T$-esquemas. Es decir, no necesitamos de la estructura de morfismos $X\rightarrow T$$Y\rightarrow T$, y para $f$ sea compatible con estos? O soy yo la incomprensión algo? ¿Cómo debe ser la correcta redacción?

Answer 1

Andreas Blass es correcta. Para arbitrario esquemas $X$ y $T$, $X(T):=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}}(T,X)$, y dado que cada esquema admite un único morfismos a $\mathrm{Spec}(\mathbf{Z})$, la categoría de sistemas es el mismo que el de la categoría de $\mathbf{Z}$-planes, y $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}}(T,X)=\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}/\mathbf{Z}}(T,X)$. Liu declaración es verdadera y correcta como se indica. Si se desea disponer de una base arbitraria, la instrucción sería: una de morfismos $f:X\rightarrow Y$ $S$- esquemas ($S$ siendo la base) es un isomorfismo si y sólo si la inducida por el mapa de $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}/S}(T,X)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}/S}(T,Y)$ es bijective para todos los $S$-esquemas $T$. Estos $\mathrm{Hom}$ conjuntos son también por lo general denotado $X(T)$ $Y(T)$ si se entiende que se está trabajando en la categoría de $S$-esquemas.

Answer 2

No veo ninguna razón por qué usted no puede o no debería definir $X(T)$ a ser el conjunto de morfismos $T\to X$. Si realmente quieres tus esquemas que por algo, recuerda que todos los esquemas se definen especificaciones $(\mathbb Z)$.