probabilidad condicional cero probabilidad eventos y condicionales derivados del radón-Nikodym

Question

Considere la posibilidad de un proceso estocástico $\{x_t\}_{t\in T}$ adaptada a algunos filtrados probabilidad de espacio $(\Omega,\mathcal{F},\{\mathcal{F}\}_{t\in T},\mathbb{P})$ toma valores en el espacio de estado $(\mathbb{R},\mathcal{B})$

Deseo considerar la probabilidad Pr$(x_t\in\mathcal{A}|x_s)$ donde $(s<t)$

Esta debería ser una buena pregunta, ya que yo debería ser capaz de asignar probabilidad a una pregunta del tipo "¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado $x_t \in [0.5,0.6]$ dado que la última vez que recibí $x_s=0.4$". por ejemplo, una probabilidad de transición.

Naturalmente, tenemos Pr$(A| B)=$Pr$(A\cap B)/$Pr$(B)$ pero luego tenemos Pr$(B)=$Pr$(x_s)=0$ para cualquier valor particular.

Ahora bien, yo creo que aquí es donde tenemos la noción de regular la probabilidad condicional de entrar a los que, como yo entiendo que significa que podemos escribir:

$$\text{Pr}(x_t\in \mathcal{A}|x_s=B)=\lim_{\mathcal{B}\to B}\frac{\text{Pr}(x_t\in \mathcal{A}\cap x_s \in \mathcal{B})}{\text{Pr}(x_s\in \mathcal{B})}$$

Caprichos del significado de $\lim_{\mathcal{B}\to B}$ a un lado (que tendría que ser de aplicación específicos, por ejemplo, aquí $\lim_{r\to 0} \text{Pr}(x_s\in (B-r,B+r)$), está por encima de la correcta?

Debo entender esto como un Radón Nikodym derivados? Parece relacionados, pero no idénticos.

¿Cómo puedo relacionar esta, y formularla de una manera de ser coherente, cómo probabilidades condicionales son generalmente definidos? (según tengo entendido), a saber:

$$\text{Pr}(x_t\in\mathcal{A}|x_s\in\mathcal{B})=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[1_{\mathcal{A}}(x_t)|\sigma(\mathcal{B})\subseteq\mathcal{F}_s]$$

Seguramente $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[1_{\mathcal{A}}(x_t)|\sigma({B})]$$ just wouldn't work? i.e. $\sigma(B)\nsubseteq\mathcal{F}$?

Es legítimo para la construcción de Radon-Nikodym derivados de las medidas de formado de regular las probabilidades condicionales? es decir, es este (de forma heurística) ok?

$$\frac{d\mathbb{P}(x_t|x_s=B)}{d\mathbb{Q}(x_t|x_s=B)}=\lim_{\mathcal{A}\to\emptyset}\lim_{\mathcal{B}\to B}\frac{\mathbb{P}(x_t\in\mathcal{A}|x_s\in\mathcal{B})}{\mathbb{Q}(x_t\in\mathcal{A}|x_s\in\mathcal{B})}$$

Gracias.

EDITAR:

Con base en la discusión en los comentarios, los temas que aparece a hervir bajar a por qué uno puede escribir

$$\text{Pr}(x_t\in \mathcal{A}|B)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[1_{\mathcal{A}}(x_t)|\sigma({B})]$$

al $B$ es una probabilidad cero de eventos. Lo que no entiendo es lo que el sigma álgebra generada por una probabilidad cero evento se ve como y por qué se puede condicionar.

Seguramente el sigma álgebra generada por una probabilidad cero evento en sí es formado a partir de (complementa y sindicatos de) probabilidad cero eventos en $\mathbb{P}$, por lo tanto no $\mathcal{F}$

por ejemplo, $$\sigma(x_s=B)=\{\omega,\omega^c,\emptyset,\Omega\}\nsubseteq\mathcal{F}$$ con $\mathbb{P}(\omega)=0$ tal que $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[f(x_t)|\sigma({B})]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[f(x_t)]$ o $0$?

así que ¿por qué la condición en estos?

Lo que estoy haciendo mal aquí?

Answer 1

Sólo un resumen de mis comentarios que pueden aclarar: "nunca deben" considerar el sigma álgebra generada por un evento (ya que tiene nada que ver con expresiones como $E[X|Y=y]$). Usted "debe" considerar el sigma álgebra generada por una variable aleatoria, y esto tiene mucho que ver con expresiones como $E[X|Y=y]$. Específicamente...

Deje $S$ ser un espacio muestral. Deje $(X,Y)$ ser un vector aleatorio que los mapas de $S\rightarrow \mathbb{R}^2$. Por lo $X(\omega)$ $Y(\omega)$ son números reales para todos los $\omega \in S$.

Útil:

$$\sigma(Y) = \mbox{Sigma algebra generated by random variable $S$}$$

A continuación, $\sigma(Y)$ tiene muchos eventos, incluyendo todos los eventos de la forma$\{Y\leq y\}$$\{Y \in [y, y+\delta]\}$. Ahora, $E[X|Y]$ (a veces escrito $E[X|\sigma(Y)]$) es una variable aleatoria con ciertas propiedades. Hay diferentes "versiones", pero todos ellos sólo se diferencian en un conjunto de medida de 0. Deje $Z=E[X|Y]$ ser una versión en particular. Es "$Y$medible" y:

(i) $Z(\omega) = f(Y(\omega))$ para algunos la función$f$, y para todos los $\omega \in S$.

(ii) $ \int_H Z dP = \int_H X dP \quad \forall H \in \sigma(Y) $

La existencia de tal cosa puede ser demostrado el uso de Radon-Nikodym conceptos. Ahora, $E[X|Y=y]$ puede ser definido como el valor de $Z(\omega)$ para cualquier valor de $\omega$ que $Y(\omega) = y$.

Intuitiva de la construcción con $Z=E[X|Y]$.

Fix$\delta>0$$\delta \approx 0$. Definir $H = \{\omega : Y(\omega) \in [y, y+\delta]\}$. Supongamos que $Z(\omega) \approx f(y)=E[X|Y=y]$ en casi todas las $\omega \in H$. Entonces: $$ \int_H X dP = \int_H Z dP \approx \int_H f(y) dP = f(y)P[Y\in [y, y+\delta]] $$ Así: $$ f(y) \approx \frac{\int_{Y \in [y, y+\delta]} X dP}{P[Y \in [y, y+\delta]]} $$ y así tenemos una (unrigorous) la propiedad de que: $$ f(y) = \lim_{\delta\rightarrow 0^+} \frac{\int_{Y \in [y, y+\delta]} X dP}{P[Y \in [y, y+\delta]]} $$ Podría haber algún loco ejemplos en los que el límite no existe, o no da el resultado deseado.

No es útil:

$$\sigma(Y=y) = \{\{Y=y\}, \{Y\neq y\}, S, \phi\} $$

Podemos definir formalmente $E[X|\sigma(Y=y)]$, pero esto no tiene nada que ver con $E[X|Y=y]$. Se puede demostrar que, con prob 1, $E[X|\sigma(Y=y)]=E[X]$. Eso es porque, para cualquier tipo de evento $H \in \{\{Y=y\}, \{Y\neq y\}, S, \phi\}$ tenemos: \begin{align} \int_H E[X] dP = E[X]\int_H dP = E[X]P[H] &= \left\{ \begin{array}{ll} E[X] &\mbox{ if %#%#% or %#%#%} \\ 0 & \mbox{ otherwise} \end{array} \right.\\ \int_H X dP &=\left\{ \begin{array}{ll} E[X] &\mbox{ if %#%#% or %#%#%} \\ 0 & \mbox{ otherwise} \end{array} \right. \end{align}