$p$ de primera, $G$ grupo de orden $2p$ subgrupo normal $N$ de orden $2$ . Demuestre que $G$ es abeliano.

Question

Tengo dificultades para encontrar una prueba para el siguiente problema:

"Let $p$ sea un primo y $G$ un grupo de orden $2p$ que contiene un subgrupo normal $N$ de orden $2$ . Demuestre que $G$ es un grupo abeliano".

Mi planteamiento habría sido el siguiente: El grupo de factores $G/N$ tiene orden $p$ . En $p$ es primo, $G/N$ es un grupo cíclico, en particular abeliano. Así, $xyN = yxN$ $\forall x,y \in G$ .
Además $N = \{e,a\}$ ( $e$ es elemento neutro) para un $a \in G$ . Así $a^{-1} = a$ . Por lo tanto, podemos afirmar que $ag = ga$ $\forall g \in G$ . Ahora dejemos que $x,y \in G$ demuestre que $xy = yx$ . Sabemos que $xye \in yxN$ por lo que $xye = yxe$ (y ya está) o $xye = yxa$ . Ahora es cuando estoy atascado. Quería demostrar que $xye = yxa$ no puede ser, pero esto no es tan obvio como había pensado.

¿Tiene alguna pista? ¿Es engañoso mi planteamiento?

¡Muchas gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Podemos suponer que $p$ es un primo impar. Si $H$ es un subgrupo de orden $p$ (que existe, por el teorema de Cauchy), tiene índice $2$ en $G$ así que debe ser normal. En efecto, si escribimos $G=H\sqcup gH$ entonces no podemos tener $H=Hg$ para $1g=g\notin H$ por la primera descomposición del coset, por lo que $G=H\sqcup Hg$ y $Hg=gH$ . Esto funciona para cualquier $g\notin H$ y, por supuesto, es válido si $g\in H$ Así que $H$ es normal.

Si $K$ es un normal subgrupo de orden dos tiene en particular orden coprimo al de $H$ Por lo tanto $H\cap K=1$ . Por consideraciones de cardinalidad se deduce que $HK=G$ y si $K$ es normal se deduce que $G$ es el producto directo de $H$ y $K$ Así que $G$ es isomorfo a $C_2\times C_p$ que es manifiestamente abeliano. El argumento anterior muestra que cualquier grupo de orden $2p$ es isomorfo a $C_2\times C_p=C_{2p}$ o a $C_2\ltimes C_p=D_{2p}$ el grupo diedro de orden $2p$ . Tenga en cuenta que cualquier no trivial producto semidirecto como el anterior debe ser $D_{2p}$ . En efecto, cualquier automorfismo no trivial de orden $2$ de $C_p$ envía un generador $r$ a algunos $r^i$ con $r^{i^2}=r$ (aplicar de nuevo el automorfismo), o lo que es lo mismo, $i^2=1\mod p$ . Esto significa que $i=1\mod p$ (lo que no puede ocurrir ya que la identidad tiene orden $1$ ) o $i=-1\mod p$ es decir $r\mapsto r^{-1}$ por lo que el único automorfismo no trivial de $C_p$ de orden $2$ es la inversión.

El argumento anterior puede modificarse como sigue. Tomemos $s$ un elemento de orden $2$ , $r$ un elemento de orden $p$ en $G$ por Cauchy. Dado que el subgrupo generado por $r$ es normal, $srs^{-1}=srs=r^i$ para algunos $i$ y elevando al $i$ -ésima potencia vemos que $sr^is= r^{i^2}$ pero como $s^2=1$ obtenemos $r^{i^2}=r$ . Desde $r$ tiene orden $p$ de lo que se deduce que $i^2=1\mod p$ . Si $i=1 \mod p$ , $G$ es abeliano para $srs^{-1}=r$ es decir $sr=rs$ es decir $r,s$ (y generan todos los $G$ ). Si no, vemos que $i=-1\mod p$ por lo que obtenemos $srs=r^{-1}$ que es la relación que queríamos.

Answer 2

Supongamos que $G \neq Z(G).$ Si $N$ es normal, entonces $N=Z(G)$ . Pero $G/Z(G) $ cíclico $\Rightarrow$ G abeliano.

Answer 3

Creo que se puede demostrar que un grupo G es abeliano sólo probando que todos sus subgrupos son normales. Por el teorema de Cauchy aplicado al primo p (y posteriormente al primo 2) se tiene un solo p-subgrupo y un solo a 2-subgrupo. Si sólo existe un p-subgrupo tienes un resultado que dice que es normal. Así que tienes el resultado siguiendo la fórmula de Lagrange (sólo tienes subgrupos de orden 2 o p y en cualquier caso son normales)