Estocástico integral con un proceso de Poisson

Question

Tengo un proceso de Poisson$X_t$ para$t\ge0$. Cómo puedo encontrar un proceso$b_t$ tal que$$\exp ({\alpha X_t})=1+\int_0^t b_{s^{-}}dX_s$$ where $ \ alpha \ in \ mathbb {R} $ y cuál sería la expectativa de$\exp ({\alpha X_t})$. La última pregunta es cómo puedo encontrar la expectativa y la varianza de este proceso$\int_0^t \exp(\alpha X_{s^-})dX_s.$

Gracias.

Answer 1

Yo pienso que esta es una aplicación de Ito Lema con no continuas semimartingales. Por supuesto, en el caso de que $X$ es un proceso de Poisson, simpliefies a $$f(X_t)-f(X_0)=\sum_{0< s\le t} \Delta [f(X_{s})],$$ donde $f(x)=e^{\alpha x}$. Dado que el proceso de Poisson tiene un salto de tamaño 1.s., $$\sum_{0<s\le t}\Delta f(X_s)=\int_0^t \Delta f(X_s)dX_s=\int_0^t f(X_{s-}+1)-f(X_{s-})dX_s.$$ Así, el proceso que se busca es la $$b_s=f(X_s+1)-f(X_s)=\exp(\alpha X_s)(e^\alpha-1).$$

Con eso, la última pregunta es fácil de contestar, ya que $$\int_0^t \exp(\alpha X_{s^-})dX_s=\frac1{e^{\alpha}-1}[\exp(\alpha X_t)-1],$$ y se puede utilizar en el momento de generación de la función de $X_t$ $$\mathbb{E} \exp(\alpha X_t)=\exp\{\lambda t (e^{\alpha}-1)\}$$ para averiguar la expectativa y la varianza de $\int_0^t \exp(\alpha X_{s^-})dX_s.$