¿La eliminación de Gauss Jordan se reduce a la forma de filas de caballetes siempre?

Question

Estoy leyendo este texto:

y me pregunto si la eliminación de Gauss-Jordania siempre lleva a una matriz de identidad a la izquierda? Si es así, eso me ayuda a entender este pasaje:

Estoy tratando de averiguar por qué [A 0] puede ser reescrito como [I 0]. ¿Por qué?

Answer 1

No estoy seguro de qué tipo de terminología te es familiar, pero una forma de ver esto es hablando de la posiciones de pivote (enlace de wikipedia). Si $A$ es una matriz cuadrada invertible, entonces $A$ tiene una posición de pivote en cada fila. Esto se debe a que existe una solución única para $Ax = b$ por cada $b$ . Pero si $A$ es una matriz cuadrada con un pivote en cada fila, es decir $A$ es equivalente en filas a la matriz de identidad $I$ . Esto significa que $[A \;0]$ puede reescribirse como $[I\; 0]$ utilizando operaciones de fila.

Answer 2

La eliminación de Gauss-Jordan conduce a la matriz identidad si el sistema de ecuaciones tiene una solución única. El libro da un ejemplo cuando este es el caso, así que aquí hay un ejemplo cuando este no es el caso:

Ejemplo: Tomemos el sistema de ecuaciones $$x+y+z = 2$$ $$x+y = 1$$ $$z = 2$$

que no tiene solución y puede representarse como $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}, \text{where }A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ Aquí, observe que para encontrar la solución de este sistema de ecuaciones, necesitamos multiplicar ambos lados de la ecuación por $A^{-1}$ desde la izquierda. Sin embargo, aplicando la eliminación de Gauss-Jordan,

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

por lo que, como se puede ver, no podemos tener la matriz identidad mediante el uso de operaciones elementales de fila. Cuando se puede hacer, es decir $A$ es invertible, podemos decir $[A\ \ 0]$ puede escribirse como $[I\ \ 0]$ ya que son equivalentes en fila.

Answer 3

La eliminación de Gauss-Jordan funciona si y sólo si existe una inversa. No funciona para la matriz de elementos nulos (matriz de ceros).

Dijeron que [A 0] puede reescribirse como [I 0] utilizando operaciones de fila elementales así que hay operaciones para que eso funcione.