¿Cuál de estas opciones es falsa?

Question

Dados dos eventos independientes $A$$B$, con las condiciones dadas:
$0 \lt P(A) , P(B) <1$.
Cuál de las siguientes opciones es falsa?

1. $A$ $B'$ son independientes.
2. $A'$ $B'$ son independientes.
3. $P(A|B) = P(A|B')$
4. Para cualquier evento c, con $0 \lt P(c) \lt 1$, $P(AB|c)= P(A|c)\cdot P(B|c)$

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Aquí es lo que he intentado:

1. A y B son independientes de la fib: $P(A \cap B)$ $=$ $P(A)\cdot P(B)$
   Ahora, tenemos : $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')$
   Así,
   $P(A \cap B')$ $=$ $P(A) - P(A \cap B)$
   $=$ $P(A) - P(A)\cdot P(B)$
   $=$ $[1-P(B)]\cdot P(A)$
   $=$ $P(A)\cdot P(B')$
   Por lo tanto, 1 es verdadera.

2. Sabemos que, $P(A' \cap B') =P(A \cup B )'$
   $=1 - P(A \cup B)$
   $=1 - P(A) - P(B) + P( A \cap B)$
   $=1 - P(A) - P(B) + P(A)\cdot P(B)$
   $= [1-P(A)] \cdot [1-P(B)]$
   $=P(A')P(B')$
   Por lo tanto, 2 es también verdadero.

3. Por la probabilidad condicional, $P(A | B)$ $=$ $\frac{P(A \cap B)} {P(B)}$
   $=$ $\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}$
   $=$ $P(A)$
   Y
   $P(A | B')$ $=$ $\frac{P(A \cap B')}{P(B')}$
   $=$ $\frac{P(A)\cdot P(B')}{P(B')}$
   $=$ $P(A)$

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El problema es que el 4. He tratado de refutar, por la búsqueda de un contra-ejemplo, y yo no podía.

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¿Cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Es la opción 4. ¿cierto?

No: Asumir que #% el %#% y $C = A\cup B$ y $P(C)\geqslant P(A)>0$ $$P(AB \mid C)=\frac{P((A \cap B) \cap C)}{P(C)}=\frac{P(A \cap B)}{P(C)} = \frac{P(A)P(B)}{P(C)}$$ while $$P(A\mid C)P(B\mid C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}\frac{P(B \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A)P(B)}{P(C)^2}$P (C) = 1 $ hence the equality in option 4. holds if and only if $A $. Now, $B $ and$$ are independent hence $$P(C)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$P (C) = 1$ Thus,$$ would mean that $$0=1-(P(A)+P(B)-P(A)P(B))=(1-P(A))(1-P(B))$P (A) \ne1$ which does not hold since $P (B) \ne1$ and $C=A\cup B$. Thus, for $0

En definitiva, opción 4. nunca tiene.