Resuelve 3 ecuaciones exponenciales$z^x=x$,$z^y=y$,$y^y=x$ para obtener$x$,$y$,$z$.

Question

La pregunta principal es:

$z^x=x$,$z^y=y$,$y^y=x$

Encontrar $z$, $y$, $x$.

Mi método:

Primero intenté obtener dos ecuaciones para las incógnitas$x$ y$y$.

Podemos escribir felizmente:

$z=x^{1/x}$ y$z=y^{1/y}$

Así obtenemos,$x^{1/x}=y^{1/y}$ que es,$x^y=y^x$.

No puedo ir más allá de esto. Por favor, ayúdame.

Answer 1

$$z^{y}=y$ $$$(z^y)^y=y^y$ $$$z^{y^2}=x=z^x$ $ por lo tanto$$x=y^2$ $ por otro lado$$y^y=x=y^2\implies y=2$ $ así$$x=4\quad,\quad z=\sqrt{2}$ $

Answer 2

Una solución solo al mirarlo es$z=x=y=1$.

Answer 3

Y para ser diferente, la tercera solución es$x=y=z=-1$, mediante prueba y error a la antigua.