La respuesta obvia es que usted consigue la consistencia de $\sf ZFC$ con un inaccesibles. Pero conseguir más. Usted consigue la existencia de un modelo transitivo de esta teoría. Pero en realidad obtener más. Desde un cardinal inaccesible es el límite del mundo de los cardenales,1 de obtener un modelo transitivo de $\sf ZFC$+existe una inaccesibles cardenales+Hay una clase adecuada de los mundanos cardenales.
Pero claro, este es el seco de una respuesta evidente. Echemos un vistazo a algunas de las teorías que han demostrado ser equiconsistent con la existencia de un cardinal inaccesible. Porque ya que conseguir un modelo de $\sf ZFC$+, existe un cardinal inaccesible, que realmente conseguir un modelo de estas teorías.
$\sf ZF+DC$+Cada conjunto de los reales es Lebesgue medible; o $\sf ZFC$+Cada proyectiva conjunto de los reales es Lebesgue medible. Sela demostrado que es suficiente para considerar las $\Sigma^1_3$ conjuntos de reales con el fin de concluir un inaccesibles debe existir. Del mismo modo, usted puede reemplazar Lebesgue medible por "toda la multitud innumerable de reales contiene un subconjunto perfecto" (que tiene en Solovay del modelo), lo que implica $\omega_1$ es un límite en $L$, por lo que en la presencia de $\sf DC$, implica la existencia de un cardinal inaccesible en el interior del modelo.
La consistencia de $\sf ZF$+existe una infinita Dedekind-conjunto finito+Cada dos Dedekind-finito cardenales son comparables. Esto fue demostrado por Sageev, el inaccesible es probablemente innecesario, pero no sabemos muy bien todavía.
La consistencia de las Kelley-Morse de la teoría de conjuntos; pero también el hecho de que $\sf ZFC_2$ tiene al menos dos personas que no son isomorfos modelos (uno sin inaccesible cardenales, y uno con exactamente uno).
La consistencia de $\sf ZFC$+no Hay Kurepa árboles.
La consistencia de $\sf ZF$+Por cada $\alpha$ hay un conjunto $X_\alpha$ que es una contables de la unión de conjuntos contables, sino $\mathcal P(X_\alpha)$ pueden ser mapeadas a $\omega_\alpha$. Como Sageev del resultado, no está claro si el inaccesible, el cardenal es realmente necesario (y a diferencia de Sageev del resultado, éste nunca fue publicado en un documento: se anuncia en los anuncios de la AMS, y que debería aparecer en un Tel. D. tesis desde hace años).
La consistencia de $\sf ZFC$+$\omega_1$ es inaccesible para los reales. Hay varios resultados en el descriptivo de la teoría de conjuntos acerca de $\sigma$-ideales en polaco espacios que tienen implicaciones a la hora de asumir $\omega_1$ es inaccesible a los reales, lo cual significa que las consecuencias de ser verdad en algunos modelos.
Esta lista no está completa, o incluso remotamente cerca de ser completado. Pero darle una pequeña muestra de lo que la gente hizo con sólo inaccesible cardenales a través de los años. Francamente, sin embargo, para un montón de interesantes resultados inaccesible cardenales llegar a ser demasiado débil y demasiado mundano que nos proporcionan la estructura necesaria para llevar a cabo estos resultados.
Notas a pie de página.
(1) $\kappa$ es mundana si $V_\kappa$ es un modelo de $\sf ZFC$. Cada inaccesible cardenal es mundano, pero al menos mundana ha contables cofinality, y un cardinal inaccesible cuenta con un club de mundanos cardenales debajo de ella.2
(2) tenga en cuenta que si vamos a reemplazar el Reemplazo del esquema de su segundo axioma, entonces conseguimos que $V_\kappa\models\sf ZFC_2$ si y sólo si $\kappa$ es inaccesible.
